Si definisce funzione primitiva o integrale indefinito di una funzione $f(x)$, la funzione $F(x)$ che ha $f(x)$ per derivata.

è facile convincersi che tale funzione non è unica; infatti se $F(x)$ è una funzione che ha $f(x)$ per derivata e cioé:

$$ D_x F(x) = f(x) $$

allora anche $ F(x) + c $, dove c è una costante qualsiasi, avrà f(x) per derivata, dal momento che la derivata di una costante è sempre zero:

$$ D_x {F(x) + c} = D_x F(x) + D_x c = f(x) $$

Detto con altre parole, l'integrale indefinito è dato a meno di una costante, e si scrive usando il simbolo di Leibniz, lo stesso dell'integrale definito fatta salva l'assenza degli estremi di integrazione.

$$ \int{f(x)}{dx} = F(x) + c $$

• L'integrale di $ y = x^2 $ (parabola con vertice nell'origine) è $ \frac{x^3}{3} + c $, infatti $ D_x \frac{x^3}{3} = \frac{3{x}^2}{3} = x^2 $:
  $ \int{x^2}{dx} = \frac{x^3}{3} + c $
• L'integrale di $ y = x $ (retta, bisettrice del I quadrante) è $ \frac{x^2}{2} + c $, infatti $ D_x \frac{x^2}{2} = \frac{2{x}}{2} = x $:
  $ \int{x}{dx} = \frac{x^2}{2} + c $
• L'integrale di $ y = 1 $ (retta orizzontale, parallela all'asse x) è $ {x} + c $, infatti $ D_x {x} = 1 $:
  $ \int{dx} = {x} + c $
• L'integrale della funzione coseno $ y = \cos(x) $ è il seno, infatti $ D_x \sin(x) = \cos(x) $:
  $ \int{\cos{x}}{dx} = \sin{x} + c $
• L'integrale della funzione seno $ y = \sin(x) $ è l'opposto del coseno, infatti $ D_x \cos(x) = -\sin(x) $:
  $ \int{\sin{x}}{dx} = -\cos{x} + c $
• L'integrale della funzione esponenziale $ y = e^{x} $ è la funzione stessa, infatti $ D_x e^{x} = e^{x} $:
  $ \int{e^{x}}{dx} = e^{x} + c $
• L'integrale della funzione $ y = \frac{1}{x} $ è il logaritmo naturale, infatti $ D_x ln(x) = \frac{1}{x} $; però la funzione $ ln(x) $ è definita solo per valori positivi, mentre $ \frac{1}{x} $ è definita per ogni valore reale tranne zero; il rimedio è di considerare il logaritmo del valore assoluto che è definito per $ x \ne 0 $:
  $ \int{\frac{1}{x}}{dx} = \ln{|x|} + c $
• L'integrale del polinomio y = 3x² - 1 è il polinomio y = x³ - x, infatti D x³ - x = 3x² - 1:
  $ \int{3{x^2-1}}{dx} = x^3 - x + c $