Che significato geometrico ha l'integrale?
Prendiamo come primo esempio la funzione $y=x$, retta bisettrice del I quadrante. Il suo integrale è:
$$\int{x}{dx} = \frac{x^2}{2}+c$$
Osservando il grafico a destra, salta agli occhi che la primitiva $\frac{x^2}{2} $ è l'area del triangolo rettangolo compreso tra gli assi, la retta in oggetto e la retta verticale $x=b$ dove $b$ è un numero reale qualsiasi, l'estremo destro. Nell'esempio in figura, è $b=3 $ e l'area vale $ \frac{A \times h}{2} = \frac{9}{2}=4,5$ come l'integrale.
Prendiamo come secondo esempio la funzione $y=x+1$. Il suo integrale è:
$$\int{(x+1)}{dx} = \frac{x^2}{2}+x+c$$
Questa volta sotto la retta viene a formarsi un trapezio con le basi verticali (parallele all'asse $y$), e anche in questo caso il valore dell'integrale $ \frac{3^2}{2}+3=7,5$ coincide con l'area del trapezio $\frac{(1+4) \times 3}{2} = 7,5$.
E come terzo esempio la funzione $y=x-1$. Il suo integrale è:
$$\int{(x-1)}{dx} = \frac{x^2}{2}-x+c$$
Questa volta sotto la retta viene a formarsi un trapezio intrecciato con le basi verticali (parallele all'asse $y$), e anche in questo caso il valore dell'integrale $ \frac{3^2}{2}-3=1,5$ coincide con l'area del trapezio $\frac{(1+4) \times 3}{2} = 1,5$ che può vedersi anche coma la somma algebrica di due triangoli, quello a destra con area positiva $2$, quello a sinistra con area negativa $-0,5$.
Resta però la domanda: è sempre così? In altre parole, l'integrale ha sempre il significato geometrico di area? Per qualsiasi funzione?
La risposta viene dal teorema fondamentale dell'analisi.