Questo teorema, detto fondamentale in quanto stabilisce una connessione tra il calcolo delle derivate (tangenti) e quello integrale (aree), è noto anche come teorema di Barrow o di Torricelli-Barrow.
Il problema è quello di calcolare l'area sottesa a una funzione continua $y = f(x)$ tra lo zero e un generico valore $x=b$, area che Leibniz chiamò integrale definito della $f(x)$ tra $0$ e $b$.
Prima di tutto l'area è di fatto a sua volta una funzione dell'estremo $b$ che indicheremo con $F$ maiuscola; infatti il valore dell'area dipende solo dall'estremo $b$, è univoca e definita per ogni $b \in \mathbb{R}$, convenendo che se $b$ è negativo l'area sarà negativa e lo stesso se l'area si trova al di sotto dell'asse delle $x$.
Nella figura a lato l'area colorata in azzurro è quella compresa tra $0$ e $x=3$ e vale quindi $F(x)$; l'area rossa rappresenta l'incremento infinitesimo dell'area, tra $f(x)$ ed $f(x+dx)$.
L'area può essere vista come la somma integrale di infiniti rettangoloidi infinitesimi di base infinitesima $dx$ e altezza $f(x)$; vedi figura. La loro area è infinitamente vicina, anzi indistinguibile(*), al rettangolo infinitesimo $f(x)dx$. Nella seconda figura è mostrato solo il rettangolino più a destra $f(x)dx$.
Leibniz usò una esse stilizzata per indicare questa somma integrale; quindi per definizione:
$$ F(x) = \int_0^x{f(t)}{dt} $$
che si legge [somma] integrale tra zero e x di effe di t in de-ti. La variabile $t$ è una variabile di appoggio lungo l'asse delle ascisse, usata per evitare confusioni con la $x$ che qui indica l'estremo destro della figura, qui $x=b$.
La funzione area $F(x)$ è definita, ma come calcolarla conoscendo la funzione $f(x)$?
Proviamo a calcolare la derivata di $F(x)$; in base alla definizione di derivata abbiamo:
$ F'(x) = st \left ( \frac{F(x + dx) - F(x)}{dx} \right ) $
Ma $F(x + dx) - F(x)$ è indistinguibile dall'area del rettangolo infinitesimo che vale $f(x)dx$. La derivata della funzione area $F(x)$ è allora:
$ \require{cancel} st \left ( \frac{F(x + dx) - F(x)}{dx} \right ) = st \left ( \frac{f(x)\cancel{dx}}{\cancel{dx}} \right ) = f(x) $
In altre parole la derivata della funzione area altro non è che la funzione primitiva! Se allora siamo in grado di determinare una funzione che abbia $f(x)$ come derivata avremo risolto il problema. Il problema del calcolo dell'area si riduce al problema di calcolare l'inverso di una derivata, problema che è risolubile facilmente per i polinomi e per molte altre funzioni.
La funzione area $F(x)$ che ha per derivata $f(x)$ si chiama integrale indefinito di f(x) e si scrive:
$ F(x) = \int {f(x)}{dx} $
