Il calcolo integrale nasce dal problema di calcolare un'area in generale, e in particolare l'area sottesa da una curva, e cioè quella compresa tra il grafico di una funzione $y = f(x)$, l'asse delle $x$ e due segmenti delle rette $x=a$ e $x=b$; questi ultimi due valori si chiamano estremi di integrazione.
Calcolare quest'area con i metodi tradizionali dell'Algebra e della Geometria è in generale impossibile; è viceversa possibile approssimarla con metodi numerici, p.es. la regola dei trapezi e quella di Simpson.
Storicamente il primo tentativo di calcolare aree delimitate da curve qualsiasi è opera di Archimede con il suo metodo di esaustione nato per calcolare l'area del cerchio.
Nel Seicento Leibniz vede l'area sottesa a una funzione $f(x)$ come la somma integrale di infiniti rettangoli infinitesimi di altezza $f(x)$ e base infinitesima $dx$. L'area di ognuno di questi rettangoli è $f(x) {dx}$ e l'area totale sarà data appunto dalla somma integrale di tutti questi termini $f(x) {dx}$. Per simboleggiare questa somma Leibniz, stilizzando la lettera Esse, crea il simbolo di integrale(*) che è tuttora universalmente usato in Matematica:
$$ \int{f(x)}{dx} $$
In generale l'area sottesa dalla funzione $f(x)$ tra i valori $a$ e $b$ si indica così:
$$ \int_a^b{f(x)}{dx} $$
In base al teorema fondamentale dell'analisi l'integrale indefinito, ossia l'antiderivata, è la funzione area $F(x)$che dà l'area compresa tra $0$ e un generico valore $b$. Calcolare l'area tra $a$ e $b$ è allora semplicemente:
$$ \int_a^b{f(x)}{dx} = F(b) - F(a)$$
dove $F(x)$ è un qualsiasi integrale indefinito di $f(x)$, di solito per semplicità si prende quello con $c=0$ ovverosia senza la costante di integrazione.
Per esempio, volendo calcolare l'area sottesa alla parabola $f(x)=x^2-4$ tra i suoi due zeri $x=-2$ e $x=+2$, visto che l'integrale indefinito è $F(x) = \frac{x^3}{3}-4x$ si dovrebbe calcolare:
$$ \int_{-2}^2{x^2-4}{dx} = F(2)- F(-2) = \left(\frac{8}{3}-8 \right) - \left(-\frac{8}{3}+8 \right) = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} -8 -8 = \frac{16}{3} - 16 = -\frac{32}{3} = -10,(6) $$
Quindi l'area sottesa dalla curva è pari a $-\frac{32}{3}$. Il segno negativo è dovuto al fatto che la curva nell'intervallo di integrazione $ -2 < x < 2$ sta sotto l'asse delle x.
Si usa anche la seguente notazione:
$$ \int_{-2}^2{x^2-4}{dx} = \left[ \frac{x^3}{3}-4x\right]_{-2}^2 = \left(\frac{8}{3}-8 \right) - \left(-\frac{8}{3}+8 \right) = ... = -\frac{32}{3} = -10,(6) $$
Questa definizione è pienamente soddisfacente quando la funzione è continua, nel senso che una funzione continua è sempre integrabile; il concetto di integrabilità può peraltro estendersi anche a funzioni che presentano qualche discontinuità nell'intervallo [a,b]; per questo si sono rese necessarie nuove definizioni di integrale; le più note sono quella classica di Riemann che estende la nozione di integrale a molte funzioni discontinue e quella di Lebesgue che estende ulteriormente l'insieme delle funzioni integrabili.
Calcolare i seguenti integrali definiti
