| Regola di integrazione per parti |
|---|
| $$ \int{f'(x) g(x)}{dx} = f(x) g(x) - \int{f(x).g'(x)}{dx} + c $$ |
Alla regola di derivazione del prodotto (regola di Leibniz) non corrisponde una regola altrettanto semplice e generale per l'integrazione del prodotto.
In effetti se partiamo dalla suddetta regola di Leibniz:
$$ D_x f(x) g(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) $$
e passiamo agli integrali otteniamo:
$$ f(x) g(x) = \int{f'(x)}{g(x)}{dx} + \int{f(x).g'(x)}{dx} + c$$
se si tenta di risolvere questa uguaglianza rispetto a uno dei due integrali si ottiene:
$$ \int{f'(x)}{g(x)}{dx} = f(x).g(x) - \int{f(x).g'(x)}{dx} + c$$
regola che dà l'integrale del prodotto di due funzioni in funzione dell'integrale di un altro prodotto di funzioni.
Questa regola, nota con il nome di regola di integrazione per parti, sembrerebbe inutile ed effettivamente lo è se non sappiamo risolvere l'integrale a secondo membro.
Ma se questo secondo integrale è risolubile, la regola permette di arrivare alla soluzione. Spesso è necessario applicare la regola ripetutamente per arrivare alla soluzione; in altre parole l'integrale a destra può a sua volta calcolarsi per parti. (esempio b')
In alcuni casi può essere utile vedere una singola funzione come il prodotto di se stessa per 1; con questo "trucco" è possibile calcolare l'integrale del logaritmo naturale ln(x) (esempio c).
| Ord. | Funzione | Per parti | Soluzione |
|---|---|---|---|
| a | $\int{x}{\sin(x)}{dx}$
| $\int{x}{\sin(x)}{dx} = - {x}\cos(x) - \int{-\cos(x)}{dx} + c$ | $- x{\cos(x)} + \sin(x) + c$ |
| b | $\int{x}{e^x}{dx}$
| $\int{x}{e^x}{dx} = {x}{e^x} - \int{1}{e^x}{dx} + c$ | ${x}{e^x} - e^x + c$ |
| b' | $\int{x^2}{e^x}{dx}$
| $\int{x^2}{e^x}{dx} = {x^2}{e^x} - \int{x}{e^x}{dx} + c \\ = {x^2}{e^x} - \left( {x}{e^x} - e^x \right) + c $ | ${x^2}{e^x} - {x}{e^x} + e^x + c$ |
| c | $\int{\ln(x)}{dx}$
| $\int{1}{\ln(x)}{dx} = {x}{\ln(x)} - \int{x}\frac{1}{x}{dx} + c \\ = {x}{\ln(x)} - \int{1}{dx} + c$ | ${x}{\ln(x)} - x + c$ |