| Integrazione per sostituzione |
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| $$\int{f(g(x))}{dx} = \int{f(t)}\frac{dx}{dt}{dt} + c$$ avendo sostituito $t = g(x)$ |
Alla regola di derivazione della funzione composta corrisponde questa regola di integrazione per sostituzione. L'idea di partenza è la stessa: scomporre la funzione composta in due o più funzioni elementari. Nel caso dell'integrazione occorre però sostituire sia la funzione, sia l'infinitesimo ${dx}$.
Prendiamo per esempio il seguente integrale indefinito:
$$\int{(2x-1)^2}{dx}$$
La funzione $(2x-1)^2$ può scomporsi nelle due funzioni elementari, usando $t$ come variabile di appoggio:
$ \begin{cases} y = t^2 \\t = 2x - 1 \end{cases} $
per avere un integrale nella sola variabile $t$ occorre però trasformare anche l'infinitesimo $dx$; per questo basta calcolare la derivata di $t$ rispetto a $x$:
$\frac{dt}{dx} = 2$ e quindi ${dt} = 2{dx}$ e $ {dx} = \frac{1}{2}{dt}$
l'integrale allora diventa:
$\int{(2x-1)^2}{dx} = \int{t^2}\frac{1}{2}{dt} = \int{\frac{t^2}{2}}{dt} = \frac{t^3}{6} + c$
e reintroducendo la variabile $x$:
$$\int{(2x-1)^2}{dx} = \frac{(2x-1)^3}{6} + c$$
| Funzione | Sostituzione | Soluzione |
|---|---|---|
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$$\int{\sqrt{1-x^2}}{dx}$$
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$ \int{\sqrt{1 - \sin^2(t)}}{dx} = \int{\sqrt{\cos^2(t)}}(\cos(t)){dt} \\ = \int{\cos^2(t)}{dt} = \int{\frac{1 + \cos(2t)}{2}}{dt} \\ = \frac{1}{2} {t} + \frac{\sin(2t)}{4} + c \\ = \frac{1}{2} {t} + \frac{2 \sin(t)\cos(t)}{4} + c $ |
$$ = \frac{1}{2} \arcsin(x) + \frac{1}{2} \left(x(\sqrt{1-x^2} \right) $$ |
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$$\int{\frac{1}{e^x+e^{-x}}}{dx}$$
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$ \require{cancel} \int{\frac{1}{t+\frac{1}{t}}}\frac{dt}{t} = \int{\frac{\cancel{t}}{1+t^2}} \frac{dt}{\cancel{t}} = \int{\frac{1}{1+t^2}} {dt} = \arctan(t)+c$ |
$$ = \arctan(e^x) + c$$ |
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$$\int{\frac{1}{e^x-e^{-x}}}{dx}$$
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$ \require{cancel} \int{\frac{1}{t-\frac{1}{t}}}\frac{dt}{t} = \int{\frac{\cancel{t}}{t^2-1}} \frac{dt}{\cancel{t}} = \int{\frac{1}{t^2-1}} {dt} = \frac{1}{2}\ln(\frac{|t-1|}{|t+1|})+c $ |
$$ = \frac{1}{2}\ln \left(\frac{|e^x-1|}{e^x+1} \right) + c$$ |