Un quoziente di due funzioni entrambe infinitesime o entrambe infinite, costituisce una forma di indeterminazione. Nell'analisi classica queste si indicano con la seguente simbologia di comodo:

$ \frac{0}{0} \frac{\infty}{\infty} $

che nel linguaggio NSA equivale a scrivere:

$ \frac{\delta}{\epsilon} \frac{\omega}{\psi} $

dove δ ed ε sono numeri infinitamente piccoli, mentre ω e ψ sono numeri infinitamente grandi,

Indetermintato vuol dire semplicemente che il valore di questi quozienti può essere un numero infinitamente piccolo, infinitamente grande o finito, occorre calcolarlo caso per caso.

Una regola generale molto comoda per calcolare questi limiti esiste ed è dovuta al marchese Guillaume François Antoine de l'Hopital, contemporaneo di Leibniz e Newton, allievo di Bernoulli e autore di uno dei primi manuali di analisi; la regola è riportata a lato.

La dimostrazione nel caso 0/0 [f(x₀) = g(x₀) = 0] richiede pochi passaggi algebrici e la definizione di derivata.

$ \lim\limits_{x \to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} = st \left( \frac{f(x_0 + {dx})}{g(x_0 + {dx})} \right) = st \left( \frac{f(x_0 + {dx}) - f(x_0)}{g(x_0 + {dx}) - g(x_0)} \right) $

$ = st \left( \frac{\frac{f(x_0 + {dx}) - f(x_0)}{dx}}{\frac{g(x_0 + {dx}) - g(x_0)}{dx}} \right) = \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \lim\limits_{x \to x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} $

Al secondo passaggio sono stati sottratti sopra e sotto f(x₀) e g(x₀) che valgono entrambi zero.

Per il caso ∞/∞ basta scambiare le due funzioni per ottenere un limite della forma 0/0. Dunque il limite se esiste è il reciproco del limite 0/0 e la regola vale anche in questo caso.

N.B. La regola vale solo se le due funzioni sono entrambe nulle (o infinite) per x = x₀. Non può essere applicata in alcun altro caso.

Esempi

1. Calcolare il limite:

   $ \lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}} = \lim\limits_{x \to 1}{\frac{2x - 2}{1}} = 0 $

   Nota: il limite si poteva anche calcolare osservando che la frazione si semplifica in (x - 1) che per x=1 vale 0.

2. Calcolare il limite (usando due volte la regola):

   $ \lim\limits_{x \to +\infty}{\frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 1}} = \lim\limits_{x \to +\infty}{\frac{4x - 3}{2x}} = \lim\limits_{x \to +\infty}{\frac{4}{2}} = 2 $

   Senza la regola il calcolo poteva essere il seguente:

   $ \lim\limits_{x \to +\infty}{\frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 1}} = st \left ( \frac{2ω^2 - 3ω + 1}{ω^2 - 1}\right) = st \left ( \frac{ω^2(2 - 3ε + ε^2)}{ω^2(1 - ε^2)} \right) = st \left ( \frac{2 - 3ε + ε^2}{1 - ε^2} \right) = 2 $

3. Calcolare il limite:

   $ \lim\limits_{x \to +\infty}{\frac{2x^3 + 1}{x^2 - 1}} = \lim\limits_{x \to +\infty}{\frac{3x^2}{2x}} = \lim\limits_{x \to +\infty}{\frac{3}{2}x} = + \infty $

   Senza la regola il calcolo poteva essere il seguente:

   $ \lim\limits_{x \to +\infty}{\frac{2x^3 + 1}{x^2 - 1}} = st \left ( \frac{2ω^3 + 1}{ω^2 - 1}\right) = st \left ( \frac{ω^3(2 + ε^3)}{ω^2(1 - ε^2)} \right) = st \left ( ω\frac{2 + ε^3}{1 - ε^2} \right) = 2ω = +\infty$