L'integrale indefinito
Spesso, per esempio in Fisica, è utile determinare la funzione che ha per derivata una funzione data.
È questo il problema inverso della derivata.
Per esempio è facile verificare che una funzione che ha per derivata y = x (la bisettrice del primo quadrante) è:
x2
y = ---
2
Ma è questa l'unica funzione ad avere x come derivata?
In realtà si verifica facilmente che anche
x2
y = --- + 1
2
ha per derivata x; e così pure per ogni valore costante che si ponga al posto di 1. Dunque il modo migliore di scrivere la funzione che ha per derivata x é
x2
y = --- + c
2
dove c sta per costante di integrazione. Dunque l'operazione inversa della derivata non ha come risultato una sola funzione, ma un'infinità di funzioni, una per ogni numero reale c.
L'operazione inversa della derivata si chiama integrale e si indica con un simbolo speciale, introdotto da Leibniz, una sorta di Esse maiuscola stilizzata. Si scriverà dunque:
x2
∫x.dx = --- + c
2
Più in generale si definisce funzione primitiva o integrale indefinito di una funzione f(x), la funzione F(x) che ha
f(x) per derivata, e si scrive:
∫f(x).dx = F(x) + c
dove la c è detta costante di integrazione; questa notazione equivale a scrivere:
D F(x) + c = f(x)
Esempi