La derivata ha il signiticato di coefficiente angolare della tangente. Qual è il significato geometrico del suo operatore inverso, l'integrale?
1º esempio: la retta y = x (bisettrice del primo quadrante) come si è visto ha integrale x2/2 + c. È immediato notare dal grafico a lato che x2/2 è l'area del triangolo compreso tra la retta e l'asse delle x, tra 0 e x. Questo triangolo rettangolo ha infatti base e altezza (i due cateti) uguali a x, e quindi la sua area è appunto x2/2 (base x altezza / 2), che coincide con l'integrale per c = 0. Per esempio nel disegno a lato per x = 1, il triangolo è OBC ed ha area 1/2; per x = 2 il triangolo è OEF ed ha area 2.
2º esempio: la retta y = x + 1; l'integrale è x2/2 + x (+ c). Il grafico è dato a lato. L'area del trapezio compreso tra la retta, l'asse delle x e le due rette parallele per x = 0 e x = x, è (Base maggiore + base minore)*h/2, dove la Base maggiore è x+1, la base minore è 1, l'altezza è x e quindi l'area vale:
(x + 1 + 1)x/2 = (x2 + 2x)/2 = x2/2 + x
che coincide con l'integrale (con c = 0) della funzione. Si noti che il termine x2/2 è l'area del triangolo al di sopra della retta y = 1, il termine x è l'area del rettangolo sotto tale retta. I due termini dell'integrale hanno quindi un preciso significato geometrico.
3º esempio: la retta y = 2x + 1; l'integrale è x2 + x (+ c). Il grafico è dato a lato. L'area del trapezio compreso tra la retta, l'asse delle x e le due rette parallele per x = 0 e x = x, è (Base maggiore + base minore)*h/2, dove la Base maggiore è 2x+1, la base minore è 1, l'altezza è x e quindi l'area vale:
(2x + 1 + 1)x/2 = (2x2 + 2x)/2 = x2 + x
che coincide con l'integrale (con c = 0) della funzione.
La conclusione sembra essere questa: l'integrale indefinito è una funzione che permette di calcolare l'area compresa tra la curva e l'asse delle x, nell'intervallo [0;x].
Il risultato è sorprendente perchè stabilisce una connessione tra due concetti geometrici apparentemente lontani, come quello di tangente e quello di area.
Naturalmente i tre semplici esempi visti sopra non assicurano che questa proprietà sia sempre valida. Fu Isaac Barrow a dimostrare prima ancora di Leibniz e Newton il teorema fondamentale dell'Analisi che assicura che questo risultato è valido per qualsiasi funzione sotto condizioni molto larghe.
