Il teorema fondamentale dell'Analisi

Il teorema fondamentale dell'analisi

Derivata - Integrale definito - Integrale indefinito

Questo teorema, detto fondamentale in quanto stabilisce una connessione tra il calcolo delle derivate (tangenti) e quello integrale (aree), è noto anche come teorema di Barrow o di Torricelli-Barrow.

Il problema è quello di calcolare l'area sottesa a una funzione y = f(x), detta la funzione primitiva. Per area sottesa si intende l'area compresa tra la funzione f(x), l'asse delle x e due rette verticali in corrispondenza di due valori di x detti gli estremi dell'area. Si veda il disegno a lato, dove l'area sottesa è quella colorata in arancio.

Il valore dell'area è evidentemente funzione degli estremi. Più rigorosamente definiamo la funzione area F(x) come l'area compresa tra l'asse delle y (x = 0) e la retta con ascissa x. A lato due esempi, l'area tra 0 e a è F(a), l'area tra 0 e b è F(b).

Ovviamente F(0) = 0. Le aree a sinistra dell'asse delle y sono da considerarsi negative.

Una volta definita questa funzione, il teorema fondamentale afferma semplicemente che:

La funzione area F(x) ha per derivata la funzione f(x).

Proviamo infatti a calcolare la derivata di F(x) usando il procedimento di Leibniz:

y = F(x)
y + dy = F(x + dx)

e quindi sostituendo la prima nella seconda:

F(x) + dy = F(x + dx)

dF(x) = F(x + dx) − F(x)

ma osservando il disegno a lato è evidente che la differenza F(x + dx) − F(x) non è altro che il rettangolino infinitesimo di base dx e altezza f(x). In simboli è F(x + dx) − F(x) = f(x).dx e quindi segue che:

dF(x) = f(x).dx

e dividendo tutto per dx abbiamo la derivata di F(x):

 dF(x)
------ = f(x)
  dx

Dunque la derivata della funzione area non è altro che la funzione di partenza. In altre parole F(x) non è altro che l'integrale indefinito di x.

Questo vuol dire che tutte le volte che siamo in grado di calcolare l'integrale indefinito di una funzione, allora siamo in grado di calcolare l'area sottesa alla curva in un qualsiasi intervallo [a, b].

L'area sotto la curva si chiama integrale definito della funzione.

Variante della dimostrazione

Si può obiettare che l'area tra F(x) e F(x + dx) è un trapezio piuttosto che un rettangolo infinitesimo; al rettangolino f(x).dx va infatti aggiunto (o sottratto) il triangolino infinitesimo di area dy.dx/2.

Vediamo come la dimostrazione si possa portare avanti anche in questo modo, con qualche complicazione di calcolo in più.

Osservando il disegno a lato è evidente che la differenza F(x + dx) − F(x) non è altro che il trapezio infinitesimo con basi f(x) e f(x + dx) e altezzadx. In simboli è

                    (f(x + dx) + f(x))dx
F(x + dx) − F(x) = ----------------------
                               2

ma la somma (f(x + dx) + f(x)) è uguale a 2.f(x) + dy e quindi si ha:

                    2.f(x).dx + dy.dx
F(x + dx) − F(x) = -------------------  = f(x).dx + dy.dx/2
                           2

dF(x) = f(x).dx + dy.dx/2

e dividendo tutto per dx abbiamo la derivata di F(x):

 dF(x)
------ = f(x) + dy/2
  dx

ed essendo dy infinitamente piccolo rispetto a f(x) segue lo stesso risultato di cui sopra. In altre parole aver approssimato il trapezio infinitesimo con un rettangolo infinitesimo equivale ad aver scartato l'infinitesimo dy in partenza invece che alla fine.

Fonti bibliografiche e collegamenti

Pagina biografica (in inglese) su Isaac Barrow: insegnante al Trinity College di Cambridge ebbe come studente Isaac Newton al quale cedette la cattedra quando si rese conto che l'allievo aveva superato il maestro; fu tra i primi a dimostrare il teorema fondamentale al quale ha dato il nome.
Pagina biografica (in inglese) su Evangelista Torricelli: noto soprattutto come ideatore del barometro, Torricelli fu allievo di B.Cavalieri e si occupò estesamente di geometria e in particolare del calcolo di aree e volumi; nel 1918 fu pubblicato un suo lavoro dal quale si deduce che anche Torricelli era arrivato ad enunciare questo teorema; per questo motivo in Italia è noto come teorema di Torricelli-Barrow.