Il problema di trovare la tangente a una curva in un suo punto è una delle origini del concetto di derivata. Prima di Leibniz si erano trovare diverse regole per casi particolari, per esempio regole valide per curve algebriche di secondo grado (coniche con il metodo algebrico di imporre $\Delta = 0$); mancava un metodo generale valido per qualsiasi curva o funzione.

Il metodo di Leibniz è precisamente questo, permette di trovare la tangente a una curva a condizioni molto larghe (in sostanza che la curva sia continua e derivabile nel punto richiesto).

Come primo esempio vediamo come il metodo di Leibniz consente di trovare facilmente la tangente a una parabola. Sia data per esempio la parabola di equazione:

$$ y = \frac{1}{4}x^2 -3x + 2 $$

e sia da trovare la tangente nel punto di ascissa $x=2$.

Il punto, calcolata la sua ordinata come $ y = \frac{1}{4}4 -3 \times 2 + 2 = -3$ è al centro del fascio $y+3 = m(x-2)$. Resta solo da calcolare il coefficiente angolare $m$ e per questo basta calcolare la derivata che è:

$$ y' = \frac{1}{4} 2x -3 = \frac{1}{2} x - 3 $$

Per $x = 2$ la derivata vale $f'(2) = 1 -3 = 2$ e quindi il coefficiente angolare è $m=-2$. Quindi sostituendo nell'equazione del fascio di rette otteniamo: $y+3 = -2(x-2) ; y+3=-2x + 4; y = -2x+1$.

L'equazione della tangente è: $$y = -2x+1$$.

Per trovare la tangente in un altro punto basta calcolare la derivata in quel punto e ripetere il procedimento. Per esempio per trovare la tangente nel punto con ascissa $x=8$ basta calcolare $y = \frac{1}{4}8^2 -3 \times 8 + 2 = 16-24 +2 = -6$ e $ y' = \frac{1}{2} 8 - 3 = 4 - 3 = 1$, quindi è $m=1$ e l'equazione della tangente è: $$y+6 = 1(x-8) ; y+6= x -8$$ $$ y = x - 14 $$