$$ y = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x) $$

Il coseno iperbolico è per definizione la media aritmetica tra $e^x$ ed $e^{-x}$. Il simbolo più usato è $\cosh(x)$ ma si trova anche l'abbreviazione $ch(x)$.

1. Insieme di definizione: le funzioni esponenziali $e^x$ ed $e^{-x}$ sono definite per ogni x reale, e quindi è I = R.
2. Simmetrie: cambiando x in -x la funzione non cambia di valore; si tratta quindi di una funzione pari, simmetrica rispetto all'asse delle y.
3. Ricerca degli zeri della funzione, ovvero soluzione dell'equazione $\cosh(x)$ = 0. Le funzioni $e^x$ ed $e^{-x}$ non si annullano mai e così sarà a maggior ragione per la loro somma; dunque non ci sono zeri.
4. Studio del segno della funzione, in base a quanto appena detto è $\cosh(x) > 0$ sempre.
5. Calcolo della derivata. La funzione è la metà della somma di due funzioni e quindi la derivata è la metà della somma delle derivate di $e^x$ ed $e^{-x}$, che sono rispettivamente $e^x$ e $-e^{-x}$: $ y' = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh(x) $ Si tratta del seno iperbolico. La derivata del coseno iperbolico è quindi il seno iperbolico. La derivata seconda è con procedimento del tutto analogo: $ y'' = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x) $ In altre parole la derivata seconda coincide con la funzione di partenza.
6. Ricerca dei massimi, dei minimi. La derivata appena ottenuta si annulla quando si annulla $e^x = e^{-x}$. Due potenze con la stessa base sono uguali solo quando sono uguali gli esponenti e quindi si ha: $ x = - x ; 2x = 0 ; x = 0 $

   Per verificare se si tratta di un massimo o un minimo si può usare il primo metodo, quello della disequazione 2x > 0; usando il solito schema:

                               0   
   2x   -----------------------o+++++++++++++++++++++++++++++o
                     -\                   + /   
   

   Dallo schema risulta evidente che c'è un minimo per x = 0, e y = 1. Usando il secondo metodo (derivata seconda) dal fatto che la derivata seconda per x= 0 vale 1 segue che si tratta di un minimo.
7. Ricerca dei flessi.

   Uguagliando a zero la derivata seconda ottenuta sopra si ha l'equazione: $\cosh(x) = 0$ ma come si è detto sopra $\cosh(x)$ è sempre positiva e non si annulla mai, dunque la funzione ha la concavità sempre rivolta verso l'alto e non ci sono flessi.