$$ y = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \sinh(x) $$

Il seno iperbolico è per definizione la media aritmetica tra $e^x$ e $-e^{-x}$. Il simbolo più usato è $\sinh(x)$ ma si trova anche l'abbreviazione $sh(x)$.

1. Insieme di definizione: le funzioni esponenziali $e^x$ ed $e^{-x}$ sono definite per ogni x reale, e quindi I = R.
2. Simmetrie: cambiando x in -x la funzione cambia di segno; si tratta quindi di una funzione dispari, simmetrica rispetto all'origine (simmetria centrale).
3. Ricerca degli zeri della funzione, ovvero soluzione dell'equazione $\sinh(x)$ = 0. Questo equivale a porre $e^x$ = $e^{-x}$; ma due potenze con la stessa base sono uguali se e solo se sono uguali gli esponenti, dunque l'equazione si riduce a $ x = - x ; 2x = 0 ; x = 0 $. Esiste quindi un unico zero che è poi l'origine O(0, 0).

4. Studio del segno della funzione Si tratta di risolvere la disequazione:

   $ e^x - e^{-x} > 0; e^x > e^{-x}; x > - x ; 2x > 0 ; x > 0 $

   e quindi:

                               0   
   x   -----------------------o+++++++++++++++++++++++++++++o
   

   La funzione è quindi positiva per x > 0, negativa per x < 0.

5. Calcolo della derivata. La funzione è la metà della somma di due funzioni e quindi la derivata è la metà della somma delle derivate di $e^x$ e $-e^{-x}$, che sono rispettivamente $e^x$ e $e^{-x}$:

   $ y' = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x) $

   Questa funzione è definita coseno iperbolico. La derivata del seno iperbolico è quindi il coseno iperbolico. La derivata seconda è con procedimento del tutto analogo:

   $ y'' = \frac{e^x +(-e^{-x})}{2} = \frac{e^x -e^{-x}}{2} = \sinh(x) $

   In altre parole la derivata seconda coincide con la funzione di partenza.

6. Ricerca dei massimi, dei minimi.

   La derivata appena ottenuta non si annulla mai essendo la semisomma di due funzioni sempre positive come $e^x$ ed $e^{-x}$. Dunque non ci sono massimi o minimi e la funzione è sempre crescente.

7. Ricerca dei flessi. Uguagliando a zero la derivata seconda ottenuta sopra si ha l'equazione: $\sinh(x) = 0$ che come si è già visto ha la soluzione x = 0 e l'andamento

                               0   
   x   ----------------------------o+++++++++++++++++++++++++++++
       concavità verso il basso             concavità verso l'alto
   

   C'è quindi un flesso per x= 0; la pendenza è $f'(0) = \cosh(0) = 1$. Dunque la curva nell'origine ha pendenza di 45º (π/4).