La curva di Gauss
$$ y = e^{-\frac{x^2}{2}} $$
Questa funzione esponenziale rappresenta una forma semplice di curva gaussiana, detta anche curva a campana per la sua forma; questa curva è importante in statistica dove rappresenta la curva di distribuzione normale; molte popolazioni statistiche hanno una distribuzione di questo tipo.
- Insieme di definizione (Dominio): la funzione esponenziale è definita per ogni numero reale e questo vale anche per la gaussiana:
dunque $I = \mathbb{R}$.
- Simmetrie: cambiando x in -x la funzione non cambia di valore; si tratta quindi di una
funzione pari, simmetrica rispetto all'asse delle y.
- Ricerca di eventuali asintoti: Calcolando la funzione per il numero infinitamente grande $\omega$ si ha $e^{-\frac{\omega^2}{2}} = e^{-N} \simeq 0$ quindi c'è l'asintoto orizzontale $y = 0$, l'asse delle ascisse. Lo stesso vale per l'infinito negativo $-\omega$.
- Ricerca degli zeri della funzione, ovvero soluzione dell'equazione $e^{-\frac{x^2}{2}} = 0$. La funzione esponenziale $e^x$ non si annulla mai e così è anche per la guassiana; non ci sono zeri.
-
Studio del segno della funzione, ovvero soluzione della disequazione $e^{-\frac{x^2}{2}} > 0$. La funzione esponenziale ex è sempre positiva e così è anche per la gaussiana.
-
Calcolo della derivata.
La funzione è una funzione composta, e la derivata è in base alla corrispondente regola.
$
\begin{cases}
y = e^t
\\ t = - \frac{x^2}{2}
\end{cases}
\\
\begin{cases}
y' = e^t
\\ t' = - \frac{2x}{2} = -x
\end{cases}
\\
y' = - x e^t = -x e^{-\frac{x^2}{2}}
$
La derivata seconda richiede la regola del prodotto di funzioni, applicando la quale si ha:
$
D_x -x e^{-\frac{x^2}{2}} = -1 e^{-\frac{x^2}{}2} - x(-x e^{-\frac{x^2}{2}}) = -e^{-\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}
$
e mettendo in evidenza $e^{-\frac{x^2}{2}}$:
$
D_x -x e^{-\frac{x^2}{2}} = e^{-\frac{x^2}{2}}(-1 + x^2)
$
-
Ricerca dei massimi, dei minimi.
La derivata prima ottenuta sopra si annulla quando si annulla il fattore -2x (il fattore esponenziale è infatti sempre positivo), quindi per $x=0$.
Usando il secondo metodo (derivata seconda) si calcola allora il valore della derivata seconda $y'' = e^{-\frac{x^2}{2}}(-1 + x^2)$ per $x = 0$, e si ha:
$ f''(0) = e^0(-2 + 4.0) = 1 \times (-2) = -2 \lt 0 $
La derivata seconda è negativa e quindi si ha un massimo: $max(0;1)$.
In alternativa si può usare il primo metodo, che richiede lo studio del segno di $-2x$ riassunto nel semplice schema:
0
-2x ++++++++++++o------------
+ ↗ - ↘
si conferma che c'è il punto di massimo $max(0;1)$.
- Ricerca dei flessi.
Uguagliando a zero la derivata seconda ottenuta sopra si ha l'equazione:
$ e^{-\frac{x^2}{2}}(-1 + x^2) = 0 $
che, ricordando che $e^{-\frac{x^2}{2}}$ è sempre positivo, si riduce alla semplice equazione algebrica:
$ -1 + x^2 = 0 ==> x^2 = 1 $
Vi sono quindi due flessi obliqui nei punti $flex_1(-1; e^{-\frac{1}{2}}) ; flex_2(+1; e^{-\frac{1}{2}})$, con coordinate approssimate: $(-1; 0,6065) | (+1; 0,6065)$. Questi punti sono importanti anche dal punto di vista statistico perché coincidono con i valori della deviazione standard $-\sigma +\sigma$
Riassumendo tutti questi risultati si ottiene il grafico riportato sopra.