Funzione esponenziale
Funzione cosh(x) Funzione sinh(x)

Le funzioni iperboliche sono funzioni basate sulla funzione esponenziale; le due principali si chiamano coseno iperbolico e seno iperbolico. Le definizioni sono:

$$ \cosh(x) = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \quad \sinh(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} $$

Sommando le due funzioni si ottiene: $$ \cosh(x) + \sinh(x) = e^{x} $$ $$ \cosh(x) - \sinh(x) = e^{-x} $$

Moltiplicando tra di loro queste due equazioni si ottiene: $$ (\cosh(x) + \sinh(x))(\cosh(x) - \sinh(x)) = e^{x} e^{-x} = e^0 = 1 $$ $$ \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 $$

Questa ultima uguaglianza è vera per ogni $x$, quindi può dirsi un'identità e prende il nome di identità iperbolica fondamentale; la somiglianza con l`identità goniometrica fondamentale $ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ giustifica il nome di iperboliche.

Qui sotto una lista di identità iperboliche, del tutto analoghe a quelle goniometriche, fatto salvo qualche cambio di segno.

• $\sinh(2x) = 2 \sinh(x)\cosh(x)$ (formula di duplicazione del seno iperbolico). Infatti $2 \sinh(x)\cosh(x) = 2 \frac{e^x - e^{-x}}{2} \frac{e^x + e^{-x}}{2}= \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}$, ricordando che è $(e^x)(e^x) = (e^x)^2 = e^{2x}$.
• $\cosh(2x) = \cosh^2(x) + \sinh^2(x)$ (formula di duplicazione del coseno iperbolico).
• $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ (identità iperbolica fondamentale).
• $\sinh(x+y) = \sinh(x)\cosh(y) + \sinh(y)\cosh(x)$ (formula di addizione del seno iperbolico).
• $\cosh(x+y) = \cosh(x)\cosh(y) + \sinh(x)\sinh(y)$ (formula di addizione del coseno iperbolico).

1. Verificare le identità di sopra, quelle non verificate nel testo si intende.