| Derivata delle funzioni iperboliche | Grafico | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| $ D_x \cosh(x) = \sinh(x) \ \quad D_x \sinh(x) = \cosh(x) $ |
| ||||
|
Le funzioni coseno e seno iperbolico sono così definite: $$ \cosh(x) = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \quad \sinh(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} $$ Per calcolarne le derivate è sufficiente ricordare che $D_x e^x = e^x$ e che in base alla regola della funzione composta è $D_x e^{-x} = -e^{-x}$; qui di seguito la procedura di calcolo della derivata del coseno iperbolico: $$ D_x \cosh(x) = \frac{D_x e^{x}+ D_x e^{-x}}{2} = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} = \sinh(x) $$In modo del tutto analogo si ricava la derivata del seno iperbolico: $$ D_x \sinh(x) = \frac{D_x e^{x}- D_x e^{-x}}{2} = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} = \cosh(x) $$In definitiva le due funzioni iperboliche sono una la derivata dell'altra. In particolare segue che le derivate di ordine pari delle due funzioni stesse coincidono con le funzioni di partenza. | |||||
|
Integrale delle funzioni iperboliche
Da quanto sopra esposto segue immediatamente l'integrale delle funzioni iperboliche che è: $ \int{\cosh(x)}dx = \sinh(x) + c \quad \int{\sinh(x)}dx = \cosh(x) + c $ | |||||