I metodo per la ricerca dei massimi e minimi
Il metodo si basa sul fatto che nei punti stazionari (massimi, minimi, flessi a tangente orizzontale)
la tangente è orizzontale, e quindi la derivata deve essere nulla.
Si tratta quindi, prima di tutto, di calcolare la derivata f'(x) e porre f'(x) = 0.
A differenza del II metodo il I metodo non richiede il calcolo delle derivate successive,
ma solo la soluzione della disequazione f'(x) > 0 dopo aver risolto la corrispondente equazione f'(x) = 0.
Le soluzioni della disequazione ci dicono che la funzione è crescente laddove la derivata è positiva, e decrescente là dove la derivata è negativa. Osservando lo schema si può facilmente decidere se si tratta di un punto di massimo o di minimo
- se la derivata è crescente prima e decrescente dopo il punto si ha un massimo.
- se la derivata è decrescente prima e crescente dopo il punto si ha un minimo.
- se la derivata è decrescente prima e dopo il punto si ha un flesso (decrescente).
- se la derivata è crescente prima e dopo il punto si ha un flesso (crescente).
Si vedano comunque i seguenti tre esempi per comprendere meglio il metodo.
Esempio 1
Sia data la funzione y = x² + 2x - 1 (si tratta di una normalissima parabola).
La derivata è y' = 2x + 2
Uguagliando a zero si ha l'equazione 2x + 2 = 0, e quindi 2x = -2 e x = -1.
-1
x > -1 ---------------o++++++++++++++++
- \ + /
|
La disequazione 2x + 2 > 0 si risolve in 2x > -2 e [dividendo per 2] x > -1;
Dunque per x -1 la derivata è positiva e la funzione è crescente; lo schema a lato mostra
che si tratta di un minimo.
La y del minimo si trova sostituendo nell'equazione della primitiva
y = x² + 2x - 1 = (-1)² +2*(-1) - 1 = +1 - 2 - 1 = - 2.
Dunque abbiamo un punto di minimo min(-1, -2).
Esempio 2
Sia data la funzione y = 6³ + 3² (parabola cubica).
La derivata è y' = 18² + 6x
-1/3 0
6x > 0 --------------------o++++++++++++++
3x + 1 > 0 ------------o++++++++++++++++++++++
+ / - \ + /
|
Si ha allora la disequazione 18² + 6x > 0, e quindi mettendo in evidenza 6x
6x(3x + 1) > 0; la disequazione si studia con il consueto schema (a lato).
Dall'osservazione dello schema vediamo che per x = -1/3 si ha un massimo, per x = 0 un minimo.
La y dei due punti si trova sostituendo nell'equazione della primitiva
- I caso x = -1/3 y = 6(-1/27) + 3(1/9) = -6/27 + 3/9 = -2/9 + 3/9 = 1/9.
- II caso x = 0; y = 6*0 + 3*0 = 0.
Dunque abbiamo
- un punto di massimo: max(-1/3, 1/9).
- un punto di minimo: min (0, 0).
Esempio 3
Sia data la funzione y = x³ + 2 (parabola cubica).
La derivata è y' = 3x²
L'equazione 3² = 0 ha la sola soluzione x = 0.
0
3x² +++++++++++++++o+++++++++++++++
/ /
|
Si ha la disequazione 3x² > 0 che è sempre vera salvo che per x = 0 dove si annulla.
La derivata è sempre positiva e quindi la funzione sempre crescente, tranne che per x = 0 dove per un "attimo" la funzione è costante.
Per x = 0 si ha quindi un flesso a tangente orizzontale.