Punti stazionari
| Regola di Fermat
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Un punto $P(x_0, y_0)$ di una funzione $f(x)$ è stazionario
se e solo se $f'(x_0) = 0$.
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| Dimostrazione
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Per la definizione di derivata:
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Se il punto è stazionario, una variazione infinitesima della x provoca variazione nulla della y: $f(x+dx)-f(x)=0$; ma allora la derivata definita come $f'(x) = st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right)$ deve essere nulla:
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Se la derivata è nulla $f'(x) = st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) = 0$ segue che deve essere nullo il denominatore e quindi il punto è stazionario.
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Un punto di una funzione si dice stazionario quando una variazione infinitesima della x non provoca alcuna variazione della y; in simboli:
$$ f(x + dx) = f(x) $$
Dal punto di vista geometrico un punto stazionario è semplicemente un punto a tangente orizzontale, intuitivamente un punto nel quale la funzione non è nè crescente nè decrescente.
Per i punti stazionari vale la regola di Fermat riportata nel riquadro a lato.
Questa regola sta alla base dei metodi classici per la ricerca dei massimi e dei minimi di una funzione; infatti fatto salvo il caso di punti angolosi, un punto di massimo o minimo locale di una funzione è sempre un punto stazionario, mentre non è sempre vero il viceversa.
La ricerca dei massimi e minimi si può allora dividere in tre fasi:
- Calcolare la derivata f'(x).
- Risolvere l'equazione f'(x) = 0.
- Discutere le soluzioni di questa equazione per decidere se si tratta di massimo, minimo o flesso a tangente orizzontale.
Per far questo esistono due metodi classici:
N.B. I punti di massimo e minimo sono ovviamente da intendere come punti di massimo e minimo locale (o relativo). Può benissimo capitare che un punto di massimo locale abbia ordinata (y) inferiore a quella di altri punti
lontani della funzione o addirittura che un punto di massimo locale abbia ordinata inferiore a quella di un minimo locale. Vedi per esempio
lo studio di una iperbole con massimo e minimo.