Derivata per x = 1 Derivata per x = 4

Studiare la funzione

$$ y = x^3 + x$$ y = x³ + x

Si tratta di una curva algebrica di 3^o grado (cubica)

1. Insieme di definizione: si tratta di un polinomio calcolabile per ogni numero reale, dunque $I = R$.
2. Ricerca di eventuali asintoti: i polinomi non hanno asintoti.
3. Ricerca degli zeri della funzione, ovvero soluzione dell'equazione $x^3 + x = 0$. Basta mettere in evidenza x ricavando $ x(x^2 + 1) = 0$. Poichè $x^2 + 1$ è sempre positivo c'è un unico zero: x = 0 che coincide con l'origine.
4. Studio del segno della funzione, ovvero soluzione della disequazione x³ +9x = 0. Utilizzando il risultato appena ottenuto la disequazione si spezza in tre disequazioni elementari:

                                     0
   x² + 1 > 0   +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
   x > 0        ---------------------o+++++++++++++++++++++
                     -          +         -        +
   

   La funzione è negativa per x < 0 e positiva altrove.
5. Calcolo delle derivate La derivata si ottiene utilizzando la regola di derivazione della somma e quella della potenza:

   y' = 3x² + 1
   

   Le derivate successive sono:

   y" = 6x
   y"' = 6
   

6. Ricerca dei massimi, dei minimi. Si tratta di risolvere l'equazione f'(x) = 0, in questo caso 3x² + 1 = 0 non ha alcuna soluzione: Non vi sono quindi punti stazionari, né massimi né minimi. Essendo la derivata prima sempre positiva la curva è sempre crescente.
7. Ricerca dei flessi. Si tratta di risolvere l'equazione f"(x) = 0, in questo caso 6x = 0 che ha una sola soluzione x = 0; vi è quindi un flesso nell'origine O(0;0) che è anche centro di simmetria della curva.