Funzione esponenziale
Iperbole elementare Tangenti

L'iperbole equilatera $y = f(x) = \frac{1}{x}$ è la più semplice delle iperboli. Si tratta di una conica, infatti moltiplicando ambo i membri per $x$ l'equazione diventa $xy = 1$ che è di secondo grado.

Questa funzione esprime la legge della proporzionalità inversa: tanto più cresce $x$, tanto più decresce $y$, e viceversa. (in valore assoluto)

Caratteristiche notevoli:

• Dominio: la funzione non è definita per $x = 0$, quindi il dominio è $D = \mathbb{R} -\{0\}$; estendendola agli iperreali è $D = \mathbb{HR} -\{0\}$.
• Continuità: la funzione è continua in qualsiasi punto del dominio; infatti $ f(x+\epsilon)-f(x) = \frac{1}{x+\epsilon} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x+\epsilon)}{x(x+\epsilon)} = \frac{-\epsilon}{x(x+\epsilon)}$ e quindi a incremento infinitesimo della $x$ corrisponde incremento infinitesimo (negativo) della $y$. Questo risultato appare in contrasto con l'intuizione visto che al centro della curva c'è un visibilissimo salto, un salto infinito.
• Continuità uniforme: questa definizione fa riferimento alla funzione estesa agli iperreali; quindi se $|x_1 -x_2|$ è infinitesimo deve esserlo anche $f(x_1)-f(x_2)$; tutto come prima, salvo il caso in cui $x_1$ e $x_2$ sono entrambi infinitesimi. Per esempio se $x_1 = \epsilon$ e $x_2 = 2\epsilon$ si ottiene: $ f(\epsilon)-f(2\epsilon) = \frac{1}{\epsilon} - \frac{1}{2\epsilon} = \frac{2\epsilon - \epsilon}{2\epsilon} = \frac{\epsilon}{2\epsilon} = \frac{1}{2}$ e si ha quindi un salto finito, una discontinuità; lo stesso se si prendono $x_1 = \epsilon$ e $x_2 = -\epsilon$ (verifica per esercizio: si ha un salto infinito); quindi l'iperbole non è uniformemente continua, ha salti finiti o infiniti nella monade di centro 0 e questo corrisponde meglio all'intuizione.
• Asintoto verticale: per valori infinitamente piccoli, p.es. $x = ε$ la funzione è infinitamente grande $f(ε) = ω$ infatti è per definizione $ω = \frac{1}{ε}$. C'è concordanza di segni quindi $f(+ε) = +ω$ e $f(-ε) = -ω$. Questo equivale a dire che c'è un asintoto verticale $x = 0$. Infatti questa retta è infinitamente vicina all'iperbole per valori di $x$ infinitamente vicini a zero.(*)
• Asintoto orizzontale: analogamente per valori infinitamente grandi $x = ω$ la funzione è infinitamente piccola $f(ω) = ε$ infatti è sempre per definizione $ε = \frac{1}{ω}$. C'è concordanza di segni quindi $f(+ω) = +ε$ e $f(-ω) = -ε$. C'è quindi anche l'asintoto orizzontale $y = 0$; anche questa retta è infinitamente vicina all'iperbole per valori infinitamente grandi della $x$.(*)
• Derivate: è $D_x \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$ ed ha quindi valore sempre negativo; questo traduce il fatto che la funzione è sempre decrescente. La derivata seconda è $D_x -{x^{-2}} = + 2 {x^{-3}}$ il cui segno coincide con quello della $x$, quindi la concavità è verso l'alto per $x \gt 0$ e verso il basso per $x \lt 0$
• Integrale indefinito è $\int \frac{1}{x} = \ln{|x|} + c$; l'area sotto la curva tra 1 ed N vale quindi $\int_1^N \frac{1}{x} = [\ln(x)]_1^N = \ln(N) - \ln(1) = \ln(N)$. Questo integrale può essere usato come definizione di logaritmo naturale anche perché fornisce un metodo di calcolo del logaritmo per mezzo delle formule approssimate di calcolo di un'area.
• Usando gli integrali generalizzati, cioè infiniti, si può calcolare l'area tra 1 e infinito. L'area è $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} = [\ln(x)]_1^ω = \ln(ω) - \ln(1) = \ln(ω)$ che è un numero infinitamente grande, quindi l'area è infinita.