y = ln(1 - x²)

Grafico della funzione

Vediamo i singoli passi dello studio

1. Insieme di definizione il logaritmo è definito quando il suo argomento è maggiore di zero. Si tratta quindi di risolvere la disequazione:

   1 - x^2 > 0
   
   (1 - x).(1 - x) > 0
   

   si tratta quindi di discutere i due fattori (1 - x) e (1 + x) sul consueto diagramma:

                  -1     +1
   1 - x  ++++++++++++++++o-----------------
   1 + 1  ---------o++++++++++++++++++++++++
             -        +          -
   

   risulta evidente allora che la funzione è definita nell'intervallo ]-1, 1[ = {x | -1 < x < 1}
2. Ricerca di eventuali asintoti verticali per x = -1 e x = +1 la funzione non è definita.
3. Ricerca degli zeri della funzione, ovvero soluzione dell'equazione ln(1-x²) = 0. Il logaritmo si annulla quando l'argomento vale 1. Dunque basta risolvere l'equazione:

   1 - x2 = 1
   
   - x2 = 0
   
   x = 0
   

   Dunque la funzione ha uno zero nell'origine.
4. Studio del segno della funzione, ovvero soluzione della disequazione ln(1-x²) >= 0. La disequazione si riduce subito alla

   1 - x2 >= 1
   
   - x2 >= 0
   

   Ma - x² è sempre negativo dunque la funzione è sempre negativa (sotto l'asse delle x) salvo per il caso x = 0 già studiato.
5. Calcolo della derivata. La funzione è una funzione composta, e la derivata è in base alla corrispondente regola.

   y = ln(t)
   t = 1 - x2
   
    dy     1       dt               dy         1      -2x
   ---- = ---  ;  ---- = -2x  ==>  ---- = -2x.--- = -------
    dt     t       dx               dx         t     1 - x2
   

6. Ricerca dei massimi, dei minimi e dei flessi. La derivata appena ottenuta si annulla quando si annulla il numeratore -2x, dunque per x = 0. Per verificare se si tratta di un massimo o un minimo si può usare il primo metodo, quello della disequazione f'(x) > 0; usando il solito schema:

                              -1      0      +1
   -2x   +++++++++++++++++++++++++++++o-----------------------
   1 - x -------------------------------------o+++++++++++++++
   1 + x ++++++++++++++++++++++o-------------------------
                     -           + /      -\     +
   

   Dallo schema risulta evidente che c'è un massimo nell'origine.