| Area tra due curve |
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Calcolare l'area compresa tra le funzioni $f(x) = 4-x^2$ e $g(x) = 2 -x$ ovverosia tra la parabola e la retta seguenti:
$$ \begin{cases} y = 4-x^2 \\ y = 2 -x \end{cases} $$
La parabola ha vertice (0;4), e concavità verso il basso; la retta ha pendenza $m=-1$ e interseca l'asse y nel punto (0;2).
Per trovare i punti comuni si deve risolvere il sistema; eliminando la y si ha subito un'equazione di secondo grado:
$ \begin{array} \\4- x^2 = 2 - x \\x^2 - x -2 = 0 \end{array} $
Questa equazione si può risolvere anche senza la classica formuletta, p.es. scomponendo il polinomio con la regola del trinomio particolare:
$ x^2 - x -2 = (x - 2)(x+1) $
Dunque l'equazione ha due soluzioni, $x = -1 ; x = 2$ corrispondenti ai punti comuni A(-1;3) e B(2;0) come è evidente anche dal disegno.
Per calcolare l'area della regione di piano delimitata dalle due curve occorre calcolare l'integrale definito tra -1 e 2 della differenza tra la parabola superiore $4 - x^2 $ e la retta $2 -x$:
$ \int^{2}_{-1}(4 - x^2){dx} - \int^{2}_{-1}(2-x)dx = \int^{2}_{-1}(2 +x - x^2)dx = \\ [2x +\frac{x^2}{2}- \frac{x^3}{3}]^2_{-1} = (4 +2 - \frac{8}{3}) - (-2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}) = 6 - \frac{8}{3} + 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 5- \frac{1}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 $
L'area tra le due curve vale quindi $\frac{9}{2} = 4.5$. Osservando il disegno si contano 1 quadratino intero, due mezzi quadratini e cinque frammenti di circa mezzo quadratino, in buon accordo con il risultato trovato.