Le 2 tangenti

Il problema è ora quello di trovare l'equazione della tangente alla cubica $y = x^3 -4x$ in un suo punto qualsiasi. Qui per esempio calcoleremmo la tangente nei punti A(1;-3) e B(-2;0).

I metodi algebrici (delta, traslazione) qui non sono raccomandabili; il primo è specifico per equazioni di secondo grado, mentre è ancora utilizzabile il secondo, dato che anche per le cubiche vale la regola che nel punto di intersezione con l'asse delle y, l'equazione della tangente è semplicemente l'equazione della cubica dalla quale si siano cancellati i termini di grado superiore al primo; ma il metodo è molto laborioso.

Il calcolo infinitesimale permette invece di trovare la tangente in modo molto più semplice è spedito, del tutto analogo a quello visto per la parabola; vediamolo per il punto B(4;3).

1. Per prima cosa si calcola la derivata della funzione $y = x^3 - 4x$ che è $y' = 3x^2 - 4$
2. Si calcola con la derivata il coefficiente angolare in B; essendo in B x = 1, il coefficiente angolare vale 3.1 - 4 = -1.
3. Sostituiamo il valore di m nell'equazione del fascio di rette in B: y + 3 = m(x - 1). Questa è l'equazione della tangente: y + 3 = -1(x - 1), che semplificando diviene $y = -x + 1 - 3$ e quindi $$y = -x - 2$$

• Trovare la tangente alla cubica di cui sopra nel punto A(-2;0).(*)
• Trovare la tangente alla cubica di cui sopra nel punto A(-1;3).(*)