Il problema è quello di trovare l'equazione della tangente alla parabola $y = x^2 - 4x + 3$ in un suo punto qualsiasi. Qui per esempio calcoleremmo la tangente nei punti $A(4;3) e B(0;3)$.
Algebricamente il problema si può risolvere o imponendo che il delta del sistema sia uguale a zero o con il metodo della traslazione; entrambi i metodo richiedono una mole di calcoli che può essere notevole.
Il calcolo infinitesimale permette di trovare la tangente in modo molto più semplice è spedito; vediamolo per il punto $A(4;3)$.
Per prima cosa si calcola la derivata della funzione $y = x^2 - 4x + 3$ che è $y'' = 2x - 4$
Si calcola con la derivata il coefficiente angolare in $A$ dove รจ $x = 4$, il coefficiente angolare vale quindi $2 \times 4 - 4 = +4$.
Sostituiamo il valore di $m$ nell'equazione del fascio di rette in $A : y - 3 = m(x - 4)$. Questa è l'equazione della tangente: $y - 3 = 4(x - 4)$, che semplificando diviene $y = 4x - 16 + 3$ e quindi
$$y = 4x - 13$$
o in forma implicita:
$$- 4x + y + 13 = 0$$
Esercizi
Si provi come esercizio a ripetere il procedimento per $A(0,3)$ (la tangente in questo caso sarà: $y = -4x +3$).
Data la parabola $y=-\frac{x^2}{4} +x -1$ calcola la derivata e trova le tangenti nei punti $A(0;-1)$ e $B(3; -\frac{1}{4})$.
Data la parabola $y=-\frac{x^2}{4} + \frac{3}{2}x - \frac{5}{4}$ calcola la derivata e trova le tangenti nei punti A(-1;-3) e B(5;0)
