La derivata del quoziente di due funzioni

Definizione di derivata - Derivata del prodotto - Derivata del reciproco

Derivata del quoziente
$ D_x \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{[g(x)]^2} $
Esempi Dimostrazione della formula

Il quoziente di due funzioni è il prodotto della prima funzione per il reciproco della seconda; basterebbe allora usare la regola del prodotto e quella del reciproco per calcolare la derivata; p.es.
$ D_x \frac{x - 1}{x^2} = D_x (x - 1) \frac{1}{x^2} = -\frac{2x}{x^4}(x-1) + 1 \frac{1}{x^2} = \frac{-2x^2 + 2x}{x^4} + \frac{x^2}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x}{x^4} $

Usando la regola del quoziente si ha:
$ D_x \frac{x - 1}{x^2} = \frac{1.x^2 - (x - 1)2x}{x^4} = \frac{x^2 - 2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x + 2}{x^3} $
Si può anche usare la regola della potenza estesa agli esponenti negativi:
$ D_x \frac{x - 1}{x^2} = D_x x^{-1} - x^{-2} = -x^{-2} + 2{x}^{-3} $
risultato che coincide con il precedente.

In analogia con la derivata del prodotto, consideriamo due funzioni u = f(x) e v = g(x) e il loro quoziente y = u/v = f(x)/g(x).
Dimostrazione 1, usando la definizione di derivata:
$ D_x \frac{f(x)}{g(x)} = st \left ( \frac{h(x+dx)-h(x)}{dx} \right) = st \left( \left( \frac{u+du}{v+dv}-\frac{u}{v} \right) \frac{1}{dx} \right) $
$ = st \left( \frac{(u+du)v - u(v+dv)}{v(v+dv)} \frac{1}{dx} \right) = st \left( \frac{uv + {du}{} v - uv - u{dv}}{v^2 + v{dv}} \frac{1}{dx} \right) = $
$ = st \left( \frac{u'v - uv'}{v^2 + v{dv}} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
e ricordando che $ u = f(x) $ e $ v = g(x) $ :
$ D_x \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{[g(x)]^2} $
Dimostrazione 2. Incrementiamo u e v di un infinitesimo e di conseguenza anche y.
$ \begin{cases} y = \frac{u}{v} \\ y + {dy} = \frac{u+du}{v+dv} \end{cases}$
Sostituendo y nella seconda:
$ \frac{u}{v} + {dy} = \frac{u+du}{v+dv} $
e quindi portando $ \frac{u}{v} $ al secondo membro:
$ {dy} = \frac{u+du}{v+dv} - \frac{u}{v} = \frac{(u+du)v - u(v+dv) }{(v+dv){v}} = \frac{{uv + v{du} - uv - u{dv}}}{(v+dv){v}} $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{{v{du} - u{dv}}}{(v^2+{v}dv){dx}} = \frac{v u' - u v'}{(v^2+{v}dv)} $
ricordando ora che la derivata è la parte standard di $ {dy} \over {dx} $ e che v.dv è un infinitesimo, si ottiene:
$ D_x \frac{u}{v} = \frac{v u' - u v'}{v^2} $
Rsiultato equivalente a quello della dimostrazione 1.
Per ricordarla si può osservare la somiglianza con la derivata del prodotto ma con una differenza invece di una somma; quindi è importante non confondere l'ordine dei due termini; in aggiunta vi è il quadrato della seconda funzione al denominatore;

Derivata del quoziente
$ D_x \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{[g(x)]^2} $
Esempi	Dimostrazione della formula
Il quoziente di due funzioni è il prodotto della prima funzione per il reciproco della seconda; basterebbe allora usare la regola del prodotto e quella del reciproco per calcolare la derivata; p.es. $ D_x \frac{x - 1}{x^2} = D_x (x - 1) \frac{1}{x^2} = -\frac{2x}{x^4}(x-1) + 1 \frac{1}{x^2} = \frac{-2x^2 + 2x}{x^4} + \frac{x^2}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x}{x^4} $ Usando la regola del quoziente si ha: $ D_x \frac{x - 1}{x^2} = \frac{1.x^2 - (x - 1)2x}{x^4} = \frac{x^2 - 2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x + 2}{x^3} $ Si può anche usare la regola della potenza estesa agli esponenti negativi: $ D_x \frac{x - 1}{x^2} = D_x x^{-1} - x^{-2} = -x^{-2} + 2{x}^{-3} $ risultato che coincide con il precedente.	In analogia con la derivata del prodotto, consideriamo due funzioni u = f(x) e v = g(x) e il loro quoziente y = u/v = f(x)/g(x). Dimostrazione 1, usando la definizione di derivata: $ D_x \frac{f(x)}{g(x)} = st \left ( \frac{h(x+dx)-h(x)}{dx} \right) = st \left( \left( \frac{u+du}{v+dv}-\frac{u}{v} \right) \frac{1}{dx} \right) $ $ = st \left( \frac{(u+du)v - u(v+dv)}{v(v+dv)} \frac{1}{dx} \right) = st \left( \frac{uv + {du}{} v - uv - u{dv}}{v^2 + v{dv}} \frac{1}{dx} \right) = $ $ = st \left( \frac{u'v - uv'}{v^2 + v{dv}} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ e ricordando che $ u = f(x) $ e $ v = g(x) $ : $ D_x \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{[g(x)]^2} $ Dimostrazione 2. Incrementiamo u e v di un infinitesimo e di conseguenza anche y. $ \begin{cases} y = \frac{u}{v} \\ y + {dy} = \frac{u+du}{v+dv} \end{cases}$ Sostituendo y nella seconda: $ \frac{u}{v} + {dy} = \frac{u+du}{v+dv} $ e quindi portando $ \frac{u}{v} $ al secondo membro: $ {dy} = \frac{u+du}{v+dv} - \frac{u}{v} = \frac{(u+du)v - u(v+dv) }{(v+dv){v}} = \frac{{uv + v{du} - uv - u{dv}}}{(v+dv){v}} $ $ \frac{dy}{dx} = \frac{{v{du} - u{dv}}}{(v^2+{v}dv){dx}} = \frac{v u' - u v'}{(v^2+{v}dv)} $ ricordando ora che la derivata è la parte standard di $ {dy} \over {dx} $ e che v.dv è un infinitesimo, si ottiene: $ D_x \frac{u}{v} = \frac{v u' - u v'}{v^2} $ Rsiultato equivalente a quello della dimostrazione 1. Per ricordarla si può osservare la somiglianza con la derivata del prodotto ma con una differenza invece di una somma; quindi è importante non confondere l'ordine dei due termini; in aggiunta vi è il quadrato della seconda funzione al denominatore;

Applicazione (esempi)

Funzione	Derivata di f(x)	Derivata di g(x)	Derivata di f(x)/g(x)
$ y = \frac{1 - x}{1 + x} $	$ f'(x) = -1 $	$ g'(x) = +1 $	$ y' = \frac {-1(1 + x) - (1 - x)1}{ (1 + x)^2 } = \frac{-1 - x - 1 + x}{(1 + x)^2 } = \frac{-2}{(1 + x)^2} $
$ y = \frac{x^2 + 1}{1 - 2{x}^2} $	$ f'(x) = 2x $	$ g'(x) = -4x $	$ y' = \frac{2x(1 - 2x^2) - (x^2 + 1)(-4x)}{(1 - 2x^2)^2} = \frac{2x - 4x^3 + 4x^3 + 4x)}{(1 - 2x^2)^2} = \frac{6x}{(1 - 2x^2)^2} $
$ y = \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} $	$ f'(x) = \cos{x} $	$ g'(x) = -\sin{x} $	$ y' = \frac {\cos{x}\cos{x} - \sin{x}(-\sin{x})} {\cos^2{x}} = \frac {\cos^2{x} + \sin^2{x}} {\cos^2{x}} = 1 + \tan^2{x} $ (oppure $ 1 \over {\cos^2{x}} $ )

Esercizi

Calcolare la derivata delle seguenti funzioni

$y = \frac{2x - 4}{1 - 3x}$
$y = \frac{3x^2 - 1}{1 - x^2}$
$y = \frac{x^3 - 1}{1 + 2x + x^2}$