| Regola del reciproco |
|---|
| $$ D_x \frac{1}{f(x)} = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2} $$ |
Per calcolare la derivata del reciproco di una funzione, non servirebbe alcuna nuova regola, basta scriverla usando gli esponenti negativi, e applicando la derivata della potenza, che è valida anche per esponenti negativi, per esempio:
$ D_x \frac {1}{(x-1)^2} = D_x (x - 1)^{-2} = -2 (x - 1)^{-3} $
e, se necessario, si usano le regole di derivazione, in particolare la regola della derivata della funzione composta.
È d'altra parte utile avere una regola mnemonica per derivare il reciproco; la regola è quella riportata nel quadro in alto.
Per dimostrarla si può partire dalla regola della funzione composta, scomponendo nelle due funzioni componenti:
$ \begin{cases} y = t^{-1} \\ t = f(x) \end{cases} \\ \begin{cases} y' = -t^{-2} \\ t' = f'(x) \end{cases} $
$ D_x f(x)^{-1} = y' t' = -t^{-2}f'(x) = -{\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}} $
Per calcolare questo tipo di derivate basta quindi sostituire nella formula f(x) con la funzione in oggetto; in alternativa, e in alcuni casi è più veloce, si può riscrivere la funzione usando gli esponenti negativi e procedere come visto sopra.
| Funzione | Derivata di f(x) | Derivata | Derivata con gli esponenti negativi |
|---|---|---|---|
| $ y = \frac{1}{3x + 2} $ | $ f'(x) = 3 $ | $ y' = -\frac{3}{(3x + 2)^2} $ | $ y = (3x + 2)^{-1} \\ y' = -1 \times 3 (3x + 2)^{-2} = -\frac{3}{(3x + 2)^2} $ |
| $ y = \frac{1}{x^2-1} $ | $ f'(x) = 2x $ | $ y' = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2} $ | $ y = (x^2-1)^{-1} \\ y' = -1(2x)(x^2-1)^{-2} = - \frac{2x}{(x^2-1)^2}$ |
| $ y = \frac{1}{(3-2x)^2} $ | $ f'(x) = -2 \times 2(3-2x) = -4(3-2x)$ | $\require{cancel} y' = - \frac{-4\cancel{(3-2x)}}{(3-2x)^{\cancel{4}3}} = \frac{4}{(3-2x)^3} $ | $ y = (3-2x)^{-2} \\ y' = -2 \times (-2)(3-2x)^{-3} = \frac{4}{(3-2x)^3}$ |
| $ y = \frac{1}{\cos(x)} $ | $ f'(x) = -\sin(x) $ | $ y' = - \frac{-\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} $ | $ y = \cos(x)^{-1} \\ y' = -\sin(x) (-1)\cos(x)^{-2} = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} $ |
| $ y = \frac{1}{\ln{x}} $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | $ y' = - \frac{\frac{1}{x}}{(\ln{x})^2} = -\frac{1}{x (\ln {x})^2} $ | $ y = (\ln{x})^{-1} \\ y' = \frac{1}{x} \times (\ln{x})^{-2} = -\frac{1}{x(\ln{x})^2} $ |