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Il postulato di Eudosso-Archimede può essere espresso in diversi modi equivalenti. Innanzitutto la formulazione più antica, in linguaggio geometrico:
Dati due segmenti di lunghezza $a$ e $b$, non nulla, con $b > a$ esiste sempre un multiplo intero di $a$ che supera $b$.
Questo postulato di fatto esclude che possano esistere segmenti infinitamente piccoli, tali che nessun loro multiplo possa superare un altro segmento di lunghezza finita.
Ammesso che la lunghezza di un segmento sia un numero reale positivo, il postulato può essere riformulato in questi termini:
$$ \forall a \in \mathbb{R^{+}} \forall b \in \mathbb{R^{+}} a \lt b \implies \exists m \in \mathbb{N} : ma > b $$
Siccome $ma > b$ e i numeri sono qui tutti positivi, si può anche scrivere, avendo diviso tutto per $b$: $ m > \frac{b}{a}$. Questo permette di scrivere il postulato in forma semplificata, ponendo $x = \frac{b}{a}$:
$$ \forall x \in \mathbb{R} \exists m \in \mathbb{N} : m > x $$
In altre parole: non può esistere un numero reale maggiore di ogni numero intero, c'è sempre un intero che lo supera. Ne segue, passando ai reciproci che non può esistere un infinitesimo $dx$ come definito da Leibniz: $ \exists {dx} \forall{m} \in \mathbb{N}: 0 \lt {dx} \lt \frac{1}{m} $. Il reciproco di un tale numero infatti supererebbe ogni numero naturale. O anche un infinitesimo moltiplicato per una qualsiasi numero naturale per quanto grande non potrà mai superare un numero reale finito.
Per questo motivo i numeri infinitesimi o infinitamente piccoli sono stati chiamati numeri non archimedei. Così pure per i numeri infinitamente grandi o illimitati che sono esclusi esplicitamente dal secondo enunciato del principio.
Il postulato di Archimede può essere esteso usando il principio di estensione? E cioè sostituendo ai reali gli iperreali, che porterebbe a questa formulazione:
$$ \forall a < b \in \; ^{*}\mathbb{R}^{+} \quad \exists m \in \mathbb{N} : mb > a $$
che non è più valida; basta un controesempio, se $a$ è un numero reale positivo e $b$ è un numero infinitamente piccolo $δ$, il prodotto $nδ$ sarà comunque infinitesimo e quindi non potrà mai superare $a$. Cade ovviamente anche la formulazione equivalente:
$$ \forall x \in \; ^{*}\mathbb{R}^{+} \quad \exists m \in \mathbb{N} : m > x $$
infatti basta prendere il numero omega per superare un qualsiasi naturale.
Attenzione però: se anche l'insieme dei naturali viene esteso a quello nonstandard degli ipernaturali si ottengono di nuovo proposizioni valide:
$$ \forall a, b \in \; ^{*}\mathbb{R}^{+} \quad \exists {M} \in \; ^{*}\mathbb{N} : {M}b > a $$ $$ \forall x \in \; ^{*}\mathbb{R}^{+} \quad \exists M \in \; ^{*}\mathbb{N} : M > x $$
e il postulato di Archimede torna ad essere valido; nell'esempio precedente basterà prendere $M$ ipernaturale infinitamente grande e maggiore di $x$ per avere di nuovo un multiplo $M \gt x$ o $Mb>a$. Dati per esempio i due numeri $3$ ed $ε$ basterà prendere $n = 4ω$ per avere $nb = 4ωε = 4 > 3$.
In questo modo anche il principio di estensione torna ad essere valido. Viceversa non si estende agli iperreali il postulato di completezza che appartiene alla logica del secondo ordine.