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Intuitivamente la concavità di una curva è la parte interna della curva.
In un riferimento cartesiano la concavità è considerata positiva se rivolta verso l'alto, negativa se rivolta verso il basso.
Per stabilire se in un dato punto P(x0,y0) la concavità è positiva o negativa, occorre esaminare il comportamento della curva in un intorno infinitesimo della medesima, in altre parole per x0+dx e x0−dx.
Se sia per x0−dx sia per x0+dx la curva è al di sopra della tangente, allora la concavità è positiva.
Se sia per x0−dx sia per x0+dx la curva è al di sotto della tangente, allora la concavità è negativa.
Dal momento che l'equazione della tangente è y=f(x0)+f′(x0)(x−x0) la condizione perchè la curva abbia concavità positiva si può scrivere come segue:
f(x0−dx)>f(x0)−f′(x0)dxf(x0+dx)>f(x0)+f′(x0)dx
che equivale a:
(f(x0−dx)−f(x0))dx>−f′(x0)→(f(x0)−f(x0−dx))dx<f′(x0)f(x0+dx)−f(x0)dx>+f′(x0)che equivale a:
f′(x0−dx)<f′(x0)f′(x0+dx)>f′(x0)f′(x0−dx)<f′(x0)<f′(x0+dx)
In altre parola concavità verso l'alto equivale a dire derivata prima crescente e quindi derivata seconda maggiore di zero. Analogamente si ricava che concavità verso il basso equivale a dire derivata prima decrescente e quindi derivata seconda minore di zero.
f"(x0)>0 concavità verso l'alto in x0
f"(x0)<0 concavità verso il basso in x0.
Che cosa accade se viceversa la curva sta da parti opposte della tangente?
Se per x0−dx e per x0+dx la curva sta da parti opposte della tangente, P è un punto di flesso.
Un flesso è quindi un punto di minimo o di massimo della derivata prima e quindi un punto nel quale la derivata seconda si annulla.
