Grafico Grafico con la tangente per il flesso

y = x³ + 3x²

Si tratta di una curva algebrica di 3^o grado (cubica)

1. Insieme di definizione: si tratta di un polinomio calcolabile per ogni numero reale, dunque I = R.
2. Ricerca di eventuali asintoti: i polinomi non hanno asintoti.
3. Ricerca degli zeri della funzione, ovvero soluzione dell'equazione x³ + 3x² = 0. Basta mettere in evidenza x² e quindi fattorizzare la differenza di quadrati:

      x2(x + 3) = 0
   

   C'è quindi uno zero doppio x = 0 (nell'origine), e uno zero semplice x = -3
4. Studio del segno della funzione, ovvero soluzione della disequazione x³ +9x = 0. Utilizzando il risultato appena ottenuto la disequazione si spezza in tre disequazioni elementari:

                       -3      0
   x2     +++++++++++++++++++++o+++++++++++++++++++++
   x + 3  -------------o+++++++++++++++++++++++++++++
                  -          +          +
   

   La funzione è negativa per x < -3 e positiva altrove, fatto salvo lo zero nell'origine.
5. Calcolo delle derivate La derivata si ottiene utilizzando la regola di derivazione della somma e quella della potenza:

   y' = 3x² + 6x
   

   Le derivate successive sono:

   y" = 6x + 6
   y''' = 6
   

6. Ricerca dei massimi, dei minimi. Si tratta di risolvere l'equazione f'(x) = 0, in questo caso 3x² + 6x = 0 che fattorizzando diventa:

        3x(x + 2)
   

   che ha due soluzioni: x = 0 e x = -2. Usando il secondo metodo per x = 0 la derivata seconda vale 6, è positiva e quindi si tratta di un minimo; per x = -2 la derivata seconda vale -6, è negativa e quindi si ha un massimo.
   Abbiamo quindi il massimo M(-2; 4) e il minimo nell'origine (0; 0)
7. Ricerca dei flessi. Si tratta di risolvere l'equazione f"(x) = 0, in questo caso 6x + 6 = 0 che ha una sola soluzione x = -1; vi è quindi un flesso nel punto F(-1; 2) che è anche centro di simmetria della curva.
8. Tangente nel punto di flesso. La retta tangente nel punto F sarà data dall'equazione del fascio di rette per F con coefficiente angolare pari alla derivata prima per x = -1:

   y - 2 = f'(-1)(x + 1)  →  y = 2 - 3(x + 1) → y = -3x - 1
   

   L'equazione della tangente è quindi y = -3x - 1