La somma di numeri iperreali è semplicemente la sequenza delle somme dei singoli elementi ed è ancora e sempre un numero iperreale.
| Simbologia | ||
|---|---|---|
| a, b, c | numeri iperreali stabili, coincidenti con un numero reale | $$ 1 = \left\langle 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ... \right\rangle = 1$$ |
| $\alpha, \beta, \gamma$ | numeri iperreali finiti | $$\alpha = \left\langle 1, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8} ... \frac{2^n-1}{2^n} ... \right\rangle \simeq 1$$ |
| 0 $\epsilon, \zeta, \eta$ | numeri iperreali infinitesimi | $$\epsilon = \left\langle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} ... \frac{1}{n} ... \right\rangle$$ |
| $\infty \\ \omega, \psi, \chi$ | numeri iperreali infiniti | $$\omega = \left\langle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... \right\rangle$$ |
| Operazioni | ||
| $ a + b = c$ | Finito + finito uguale finito | $$1 = \left\langle 1, 1, 1, 1, ... 1 ... \right\rangle = 1 \\ 2 = \left\langle 2, 2, 2, 2 ... 2 ... \right\rangle = 2 \\ 1 + 2 = \left\langle 3, 3, 3, 3 ... 3 ... \right\rangle = 3$$ |
| $\epsilon + \zeta = \eta$ | Infinitesimo + infintesimo uguale infinitesimo | $$ \epsilon = \left\langle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} ... , \frac{1}{n} ... \right\rangle \\ \zeta = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6} ... , \frac{1}{2n} ... \right\rangle \\ \epsilon + \zeta = \left\langle \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{6} ... , \frac{3}{2n} ... \right\rangle$$ |
| $\infty + \infty = \infty$ | Infinito + infinito uguale infinito | $$\omega = \left\langle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... \right\rangle \\ \psi = \left\langle 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ... \right\rangle \\ \omega + \psi = \left\langle 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23 ... \right\rangle$$ |
| $ a + \infty = \infty$ | Finito + infinito = infinito | $$a = \left\langle 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ... \right\rangle \\ \omega = \left\langle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... \right\rangle \\ a + \omega = \left\langle 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... \right\rangle$$ |
| $ a + \epsilon = \alpha$ | Finito + infinitesimo = finito | $$a = \left\langle 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ... 3 ... \right\rangle \\ \epsilon = \left\langle 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8 ... 1/n ... \right\rangle \\ a + \epsilon = \left\langle 4, 7/2, 10/9, 13/12, 16/15, 19/18, 22/21, 25/24 ... (3n+1)/n ... \right\rangle \simeq a$$ |
Vediamo alcuni esempi
E la somma di due numeri infiniti è ancora un numero infinito, per esempio:
La somma di un numero finito o infinitesimo e di un numero infinito è ancora un numero infinito, per esempio:
La somma di un numero finito a e di un numero infinitesimo \epsilon è ancora un numero finito, infinitamente vicino ad a per esempio:
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