Osservando i grafici a lato e l'andamento dell'arcotangente, anche con l'applet Geogebra, è facile verificare a vista che la pendenza della tangente è sempre positivo ed ha un massimo per x= 0.
Ricordando che la funzione arcotangente è la funzione inversa della tengente goniometrica le due seguenti scritture sono equivalenti:
$ y = \arctan{x} \ \quad x = tan{y} $
Ora se si calcola la derivata della tangente goniometrica rispetto alla variabile y si ha:
$ D_y \tan{y} = 1 + \tan^2{y} \simeq \frac{dx}{dy} $
e quindi calcolando il reciproco si ha:
$ \frac{dy}{dx} \simeq \frac{1}{1 + \tan^2{y}} $
e ricordando che $ \tan{y} = x $:
$ \frac{dy}{dx} \simeq \frac{1}{1 + x^2} $ che è appunto la derivata dell'arcotangente $ D_x \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2} $