Iperboli con asintoti orizzontali
Asintoti Andamento del segno

Studiare la funzione

$$ y = \frac{2x + 3}{x - 2} $$

La funzione può anche scriversi in forma esplicita moltiplicando tutto per (x - 2):

$$ y(x - 2) = 2x + 3 → xy - 2x - 3 = 0 $$

La curva è di secondo grado e quindi si tratta di un'iperbole.

Vediamo i singoli passi dello studio:

1. Dominio o insieme di definizione: è R - {2} dovendo essere il denominatore diverso da zero: $ x - 2 \ne 0 $.
2. Ricerca di eventuali asintoti verticali: per x = 2 c'è un asintoto verticale semplice, infatti sostitudendo x con 2 ± ε (*) si ha:

   $ \frac{2(2 + ε) + 3}{2 + ε - 2} = \frac{4 + 2ε + 3}{ε} = \frac{7 + 2ε}{ε} = 7ω + 2 = +\infty $

   $ \frac{2(2 - ε) + 3}{2 - ε - 2} = \frac{4 - 2ε + 3}{-ε} = \frac{7 - 2ε}{-ε} = -7ω + 2 = -\infty $

3. Ricerca di eventuali asintoti orizzontali: sostituendo x con ±ω(*) si ha:

   $$ \require{cancel} st \left( \frac{2ω + 3}{ω - 2} \right) = st \left( \frac{\cancel{ω}(2 + 3ε)}{\cancel{ω}(1 - 2ε)} \right) = 2 $$

   dunque c'è un asintoto orizzontale $ y = 2 $. Alternativamente si può eseguire la divisione dei polinomi tra numeri infiniti:

   $ \begin{array}{l | l} \\ \quad 2ω +3 & ω - 2 \\ -2ω +4 &―――――――― \\―――――& 2 + 7ε \\ \quad \quad + 7 & \end{array} $

   La parte standard del risultato è 2 e conferma il risultato precedente; il risultato $ 2 + 7ε $ contiene però una piccola informazione in più sull'andamento della curva e cioè il fatto che la curva si avvicina all'asintoto $ y = 2 $ dall'alto (da valori maggiori).

   Ripetendo la divisione per l'infinito negativo e cioè calcolando $\frac{-2ω + 3}{-ω - 2} = \frac{2ω - 3}{ω + 2} $ si ottiene $2-7\varepsilon$ che conferma che l'asintoto orizzontale è sempre $y=2$ ma la curva vi si avvicina da valori minori di 2.

4. Zeri della funzione, ovvero soluzione dell'equazione f(x) = 0. La frazione è uguale a 0 se e solo se lo è il numeratore, dunque l'equazione si riduce a

   $ 2x + 3 = 0 $ e quindi $ 2x = -3 ; x = -\frac{3}{2} = -1,5 $

   Vi è dunque un solo zero per x = -1.5

5. Studio del segno della funzione, ovvero soluzione della disequazione f(x) > 0; per il numeratore la disequazione 2x + 3 > 0 si risolve in modo del tutto analogo alla soluzione dell'equazione

   $ 2x + 3 > 0 $ e quindi $ 2x > -3 ; x > -\frac{3}{2} = -1,5 $

   occorre considerare anche il segno del denominatore; si ricava semplicemente: $ x -2 > 0 ; x > 2 $.

   Riassumendo con il solito schema

   $ \begin{array}{ l | c c c c c} & & -1,5 & & 2 \\ \hline x > -1,5 &-----&0&+++++&+&+++++ \\ x > 2 &-----&-&-----&∞&+++++ \\ \hline & + & 0 & - & ∞ & + \end {array} $
   La funzione è negativa tra -1,5 e 2, positiva all'esterno di questo intervallo.
6. Calcolo della derivata e ricerca dei massimi, dei minimi e dei flessi. La derivata si calcola ricordando la regola di derivazione del quoziente:

   $$ \require{cancel} y' = \frac{ 2(x - 2) - 1(2x + 3)}{(x - 2)^2} = \frac{\cancel{2x} -4 \cancel{- 2x} - 3}{(x - 2)^2} = \frac{-7}{(x - 2)^2} $$

   che è sempre negativa e non si annulla mai. Questo vuol dire che la funzione è sempre decrescente e non ci sono massimi e minimi. In definitiva il grafico è quello in figura a lato (gli asintoti sono in rosso)