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Grafico dell`iperbole in grande Massimo e minimo

Studiare la funzione

si tratta di un'iperbole, come si verifica scrivendola in forma esplicita (moltiplicando tutto per $x$):

$2xy = x^2 + 3 \quad \rightarrow \quad 2xy - x^2 - 3 = 0$

Vediamo i singoli passi dello studio

1. Dominio (Insieme di definizione) è chiaramente $\mathbb{R} - \{0\}$ dovendo essere il denominatore $x \ne 0$.
2. Zeri della funzione, ovvero soluzioni dell'equazione $f(x) = 0$. Il numeratore $x^2+3$ è sempre positivo, anzi maggiore o uguale di $3$ dunque non ci sono zeri.
3. Segno della funzione, ovvero soluzione della disequazione $f(x) \ge 0$. Il numeratore è sempre positivo e quindi irrilevante per il segno; il denominatore ha il segno della $x$ e quindi la funzione è positiva per $x>0$ e negativa per $x<0$. In altre parole la funzione esiste solo nel I e nel III quadrante.
4. Ricerca di eventuali asintoti verticali per $x = 0$, asse delle ordinata, c'è un asintoto verticale, infatti calcolando $f(0 \pm \varepsilon)$ si ha: $\frac{\varepsilon^2 + 3}{\pm 2 \varepsilon} = \pm\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}\omega$ che è un numero infinitamente grande, positivo a destra, negativo a sinistra, quindi si tratta di un asintoto semplice.
5. Ricerca di eventuali asintoti orizzontali o obliqui.
   • Calcolo infinitesimale Calcolando la $f(\omega)$ si ha $\frac{\omega^2 + 3}{2\omega} = \frac{1}{2}\omega + \frac{3}{2}\epsilon$ che è numero infinitamente grande; quindi non c'è asintoto orizzontale, ma può essercene uno obliquo; calcolando $\frac{f({\omega})}{\omega}$ si ottiene $ \frac{1}{2} + \frac{3}{2}\epsilon^2 \simeq \frac{1}{2}$ quindi c'è un asintoto obliquo con coefficiente angolare $m=\frac{1}{2}$.
     Calcolando ora $f(\omega) - m\omega$ si ottiene:
     $\frac{1}{2}\omega + \frac{3}{2}\epsilon - \frac{1}{2}\omega = \frac{3}{2}\epsilon \simeq 0$ infinitamente piccolo, quindi il termine noto della retta è $q=0$ e l'asintoto obliquo è: $$ y = \frac{1}{2}x$$
   • Calcolo della divisione dei polinomi eseguendo la divisione con la consueta regola: $$ \begin {matrix} x^2 &+ 3 & | & 2x \\ -x^2 & & | &---- \\ ---&---&|& \frac{1}{2}x \\ & +3 &|& \end{matrix} $$ e l'asintoto obliquo è, come sopra: $$ y = \frac{1}{2}x$$
6. Derivata prima. Applicando la regola della derivata del quoziente si ottiene: $ D_x = \frac{x^2 + 3}{2x} = \frac{2x(2x)-(x^2+3)2}{4x^2} = \frac{4x^2-2x^2-6}{4x^2} = \frac{2x^2-6}{4x^2} = \frac{x^2-3}{2x^2} $
7. Derivata seconda. La derivata prima si trasforma facilmente in un'espressione con esponenti negativi, quindi: $ D_x \frac{x^2-3}{2x^2} = D_x \frac{1}{2} -\frac{3}{2}x^{-2} = + 2 \frac{3}{2}x^{-3} = +\frac{3}{x^3} $
8. Ricerca di massimi, minimi e flessi. La derivata si azzera quando si azzera il numeratore, quindi per $x^2-3 = 0$ con le due soluzioni $x=\pm \sqrt{3}$
   Ci sono allora due punti stazionari, che hanno ordinate $y=\pm\frac{6}{2\sqrt{3}} = \pm\frac{3}{\sqrt{3}} = \pm\sqrt{3}$. Abbiamo in conclusione, considerato che la derivata seconda è negativa (concavità verso il basso) per $x < 0$ e positiva per $x > 0$: $$ max(-\sqrt{3};-\sqrt{3}) \quad ; \quad min(\sqrt{3};\sqrt{3})$$
   I due punti stazionari si trovano sulla bisettrice del primo quadrate e sono simmetrici rispetto all'origine.
9. In definitiva il grafico è quello a lato (gli asintoti sono in rosso)