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Grafico dell`iperbole in grande Asse di simmetria

Studiare la funzione

$$ y = \frac{x^2 - 3}{2x}$$

molto simile alla precedente salvo per il cambio di segno del $3$; si tratta ancora di un'iperbole $ xy = x^2 - 3$ ovvero $xy - x^2 + 3 = 0$

Vediamo i singoli passi dello studio

1. Dominio o insieme di definizione è chiaramente $\mathbb{R} - \{0\}$ dovendo essere il denominatore $x \ne 0$.
2. Zeri della funzione, ovvero soluzioni dell'equazione $f(x) = 0$ che in questo caso si riduce ad azzerare il numeratore: $x^2-3=0$ che ha le due soluzioni $x = \pm \sqrt{3}$.
3. Studio del segno della funzione, ovvero soluzione della disequazione $f(x) > 0$. Qui la funzione può scriversi fattorizzando il numeratore come $ \frac{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{2x}$ quindi vanno studiati i tre fattori, usando il solito schema:
   $ \begin{matrix} & & -\sqrt{3} & & 0 & & +\sqrt{3} & \\ x^2 - \sqrt{3} & ---&-&---&-&---&o&+++ \\ x^2 + \sqrt{3} & ---&o&+++&+&+++&+&+++ \\ x & ---&-&---&o&+++&+&+++ \\ & - &o& + &\infty& - &o& + \end{matrix} $
   L'andamento del segno della funzione è quindi quello indicato sopra: negativa fino a $-\sqrt{3}$ e poi a segni alternati.
4. Ricerca di eventuali asintoti verticali per $x = 0$, asse delle ordinata, c'è un asintoto verticale, infatti calcolando $f(0 \pm \varepsilon)$ si ha: $\frac{\varepsilon^2 - 3}{\pm 2 \varepsilon} = \pm\frac{1}{2} \mp \frac{3}{2}\omega$ che è un numero infinitamente grande, negativo a destra, positivo a sinistra, quindi si tratta di un asintoto semplice.
5. Ricerca di eventuali asintoti orizzontali o obliqui.
   • Calcolo infinitesimale Calcolando la $f(\omega)$ si ha $\frac{\omega^2 - 3}{2\omega} = \frac{1}{2}\omega - \frac{3}{2}\epsilon$ che è numero infinitamente grande; quindi non c'è asintoto orizzontale, ma può essercene uno obliquo; calcolando $\frac{f({\omega})}{\omega}$ si ottiene $ \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\epsilon^2 \simeq \frac{1}{2}$ quindi c'è un asintoto obliquo con coefficiente angolare $m=\frac{1}{2}$.
     Calcolando ora $f(\omega) - m\omega$ si ottiene:
     $\frac{1}{2}\omega - \frac{3}{2}\epsilon - \frac{1}{2}\omega = - \frac{3}{2}\epsilon \simeq 0$ infinitamente piccolo, quindi il termine noto della retta è $q=0$ e l'asintoto obliquo è: $$ y = \frac{1}{2}x$$
   • Calcolo della divisione dei polinomi eseguendo la divisione con la consueta regola: $$ \begin {matrix} x^2 &- 3 & | & 2x \\ -x^2 & & | &---- \\ ---&---&|& \frac{1}{2}x \\ & -3 &|& \end{matrix} $$ e l'asintoto obliquo è, come sopra: $$ y = \frac{1}{2}x$$
6. Derivata prima. Applicando la regola della derivata del quoziente si ottiene: $ D_x = \frac{x^2 - 3}{2x} = \frac{2x(2x)-(x^2-3)2}{4x^2} = \frac{4x^2-2x^2+6}{4x^2} = \frac{2x^2+6}{4x^2} = \frac{x^2+3}{2x^2} $
7. Derivata seconda. La derivata prima si trasforma facilmente in un'espressione con esponenti negativi, quindi: $ D_x \frac{x^2+3}{2x^2} = D_x \frac{1}{2} +\frac{3}{2}x^{-2} = -2 \frac{3}{2}x^{-3} = -\frac{3}{x^3}$
   ha segno opposto a quello della $x$, quindi la concavità è verso l'alto a destra, verso il basso a sinistra dell'asse delle $y$.
8. Ricerca di massimi, minimi e flessi. La derivata ha numeratore $x^2+3$ sempre positivo e anzi maggiore o uguale a $3$, anche il denominatore $2x^2$ è sempre positivo nel dominio, quindi non ci sono punti stazionari, e la funzione è sempre crescente.
9. In definitiva il grafico è quello a lato (gli asintoti sono in rosso)