Grafico della funzione Minimi Flessi

$$y = x^4 - 5x^2 + 4$$

Si tratta di una curva algebrica di 4º grado (quartica)

1. Insieme di definizione alias Dominio: si tratta di un polinomio calcolabile per ogni numero reale, dunque $I = R$.
2. Ricerca di eventuali asintoti: nessun asintoto.
3. Ricerca degli zeri della funzione, ovvero le soluzioni dell'equazione $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$. $ x^2 = \frac{5 \pm \sqrt{25 -16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$
   le due soluzioni sono quindi $x^2 = 4; x^2 = 1$
   vi sono allora quattro zeri: $x = -2; x = -1; x = +1; x = +2$.
4. Studio del segno della funzione, ovvero soluzione della disequazione $x^4 - 5x^2 + 4 > 0$. Utilizzando il risultato appena ottenuto la disequazione si può scrivere: $(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) > 0$
   e quindi si ha il seguente andamento del segno:
   
   $ \begin{array}{ l c} \\ & &-2& &-1& &0& &+1& &+2& \\x + 1 > 0 & ----&-&----&o&++++&+&++++&+&++++&+&++++ \\x - 1 > 0 & ----&-&----&-&----&-&----&o&++++&+&++++ \\x + 2 > 0 & ----&o&++++&-&++++&+&++++&+&++++&+&++++ \\x - 2 > 0 & ----&-&----&-&----&-&----&-&----&o&++++ \\ & + & & - & & + & & + & & - & & + \end{array}$
5. Calcolo delle derivate La derivata si ottiene utilizzando la regola di derivazione del polinomio: $y' = 4x^3 - 10x$ Le derivate successive sono:
   $y'' = 12x^2 - 10 \\y''' = 24x \\y^{iv} = 24 \\y^{v} = 0 $
6. Ricerca dei massimi, dei minimi. Si tratta di risolvere l'equazione f'(x) = 0, in questo caso
   $4x^3 - 10x = 0$
   e mettendo in evidenza la x si ha: $x(4x^2 - 10) = 0; x(2x + \sqrt{10})(2x - \sqrt{10}) = 0$
   si hanno quindi tre soluzioni:
   $x = 0 \\x = -\frac{\sqrt{10}}{2} \approx -1,58... \\x = +\frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1,58... $
   Utilizzando il II metodo si deve considerare la derivata seconda e calcolarne il valore per ognuno di questi tre punti:
   $f"(0) = - 10 \lt 0$ c'è un massimo.
   $f"(-\frac{\sqrt{10}}{2} = 12 \times (10/4) - 10 = 30 - 10 = 20 > 0$ c'è un minimo.
   $f"(+\frac{\sqrt{10}}{2} = 12 \times (10/4) - 10 = 30 - 10 = 20 > 0$ c'è un minimo.
   Calcolando le ordinate (y) di questi tre punti si trovano i tre punti stazionari:
   $\begin{array}{l l} f(0) = 0 - 4.0 + 4 = 4 & Max(0, 4) \\f(-\frac{\sqrt{10}}{2}) = 100/16 - 5.10/4 + 4 = 25/4 - 50/4 + 4 = - 9/4 = -2.25 & Min(-\frac{\sqrt{10}}{2}, -\frac{9}{4}) \approx Min(-1,58; -2,25) \\f(+\frac{\sqrt{10}}{2}) = 100/16 - 5.10/4 + 4 = 25/4 - 50/4 + 4 = - 9/4 = -2.25 & Min(+\frac{\sqrt{10}}{2}, -9/4) \approx Min(+1,58; -2,25) \end{array}$
7. Ricerca dei flessi. Si tratta di risolvere l'equazione $f"(x) = 0$, in questo caso $12.x^2 - 10 = 0$ che ha due soluzioni:
   $x = \pm\sqrt{\frac{5}{6}} \approx \pm 0,91, y = {\frac{5}{6}}^2 - 5\frac{5}{6} + 4 = 19/36$ Vi sono quindi due punti di flesso:
   $Flex1(-\sqrt{\frac{5}{6}}; \frac{19}{36}) \approx Flex(-0,91; 0,53) \\Flex2(+\sqrt{\frac{5}{6}}; \frac{19}{36}) \approx Flex(+0,91; 0,53)$