Uno dei problemi che ha portato alla nascita del calcolo infinitesimale è quello della velocità istantanea. Il concetto di velocità media è facile da capire: se percorro 10 km in due ore la mia velocità è di $ \frac{10}{2} = 5 km/h $, e in generale vale la formula $v=\frac{s}{t}$ dove $s$ è lo spazio percorso e $t$ è il tempo impiegato a percorrerlo. E se un atleta corre i 100 metri piani in 10 secondi la sua velocità risulta essere $ \frac{100}{10} = 10 m/s $, metri al secondo che è l'unità di misura standard della velocità.
Ma queste sono appunto medie: quei 10 km li ho percorsi in due ore, ma potrei aver percorso 6 km nella prima ora e 4 nella seconda, e quindi la mia velocità nella prima ora sarebbe stata di 6 km/h, nella seconda di 4 km/h. Analogamente se il nostro atleta ha corso i primi 50 m in 6 secondi e i secondi 50 m in 4 secondi le velocità medie sono rispettivamente di $ \frac{50}{6} = 8,333 \cdots m/s $ e di $ \frac{50}{4} = 12,5 \cdots m/s $.
La corsa dell'atleta dei 100 metri può essere rappresentata su un diagramma orario, che è poi un diagramma cartesiano con i tempi in ascisse e gli spazi in ordinate. Nella figura a lato la corsa del nostro atleta è rappresentata dalla curva rossa, e il tempo preso ai 50 metri dal punto $N$. La curva verde rappresenta invece un altro atleta che avesse corso i primi 50 m in 4 secondi e i secondi 50 m in 6 secondi. Nel linguaggio sportivo potremme descrivere la corsa dell'atleta rosso come "partenza lenta e poi grande sprint finale", quella del'atleta verde come "partenza a razzo e arrivo in affanno, sempre più lento". Se consideriamo solo la velocità media di $10 m/s$ per entrambi abbiamo una descrizione molto povera della corsa. Considerando i tempi intermedi ai 50 m si ha una descrizione più accurata della corsa ma che ancora non dice nulla su quel che è successo tra 0 e 50 m e tra 50 m e 100 m. E riducendo via via lo spazio a 25 m, 10 m, 5 m ... si dovrebbe avere una descrizione più accurata, quasi istante per instante
È possibile allora arrivare a definire una velocità istantanea dell'atleta? Ma cosa vuol dire istante? Intervallo di tempo nullo, e quindi tempo = 0? Ma in un tempo nullo l'atleta avrà percorso una distanza nulla, e la sua velocità verrebbe ad essere $v= \frac{0}{0}$ che come sappiamo è una frazione indeterminata; infatti ogni numero reale moltiplicato per zero dà zero. Questa in buona sostanza è l'essenza del terzo paradosso di Zenone, quello della freccia.
Dunque in base alle regole dell'algebra appare impossibile determinare una velocità istantanea. E anche dal punto di visita fisico sperimentale, essendovi sempre un errore percentuale su ogni misura, tanto più piccolo l'intervallo che si misura tanto maggiore l'errore percentuale che si commette, e quindi prima ancora di arrivare a intervalli di lunghezza nulla, il problema diventa indeterminato in sempre maggiore misura. Però a livello teorico dovrebbe essere possibile determinare il valore della velocità instantanea, per lo meno quando è nota la legge matematica del moto.
Infatti se la velocità media può essere interpretata geometricamente come pendenza della retta secante (tratteggiata nella figura a lato) la velocità istantanea viene ad essere la pendenza della retta tangente (le frecce nella figura a lato).
In definitiva il problema della velocità istantanea equivale in tutto per tutto a quello della pendenza della tangente. Metodi per il calcolo di questa pendenza furono trovati già da Cartesio e da altri matematici della sua epoca; nessuno però era applicabile ad ogni funzione.
Il punto cruciale del problema è: che cosa si intende per istante? Finchè si intende intervallo di durata uguale a zero si finisce nell'indeterminazione. Ma se si ammette che lo zero non abbia senso come misura di un intervallo di tempo o di spazio, e si pensa all'istante come a un intervallo infinitamente piccolo ma non nullo il problema torna ad essere trattabile.
Fu sostanzialmente questa la soluzione proposta alla fine del Seicento da Leibniz (per calcolare la tangente) e da Newton (per calcolare la velocità istantanea): un istante di tempo è un intervallo infinitamente piccolo $dt$ nel corso del quale viene percorso un intervallo infinitamente piccolo si spazio $ds$. La velocità istantanea è quindi, semplicemente:
$$ v = \frac{ds}{dt}$$che nel linguaggio matematico è detta la derivata dello spazio rispetto al tempo. Naturalmente per poter utilizzare effettivamente questa definizione occorre definire regole di calcolo per questi numeri infinitesimi che sono numeri nuovi che non possono rientrare tra i numeri reali. Questo fu fatto da Leibniz e Newtono portando alla nascita di un nuovo ramo della matematica: il calcolo infinitesimale tema centrale di questo ipertesto.