Regola di Fermat

Derivata - Significato della derivata seconda

Regola di Fermat

Studio di funzione Ricerca max e min I metodo, II metodo - Punti di flesso

Regola di Fermat
Un punto $P(x_0, y_0)$ di una funzione $f(x)$ è stazionario se e solo se $f'(x_0) = 0$.
Per la definizione di derivata: Se il punto è stazionario, una variazione infinitesima della $x$ provoca variazione nulla della $y$: $f(x+dx)-f(x)=0$; ma allora la derivata definita come $f'(x) = st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right)$ deve essere nulla: Se la derivata è nulla $f'(x) = st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) = 0$ segue che deve essere nullo il numeratore e quindi il punto è stazionario.

Regola di Fermat

Un punto $P(x_0, y_0)$ di una funzione $f(x)$ è stazionario
se e solo se $f'(x_0) = 0$.

Per la definizione di derivata:

Se il punto è stazionario, una variazione infinitesima della $x$ provoca variazione nulla della $y$: $f(x+dx)-f(x)=0$; ma allora la derivata definita come $f'(x) = st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right)$ deve essere nulla:
Se la derivata è nulla $f'(x) = st \left( \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) = 0$ segue che deve essere nullo il numeratore e quindi il punto è stazionario.

Quando si studia una parabola $y = ax^2+bx+c$ si studiano anche la ben note formule per trovarne il vertice:

$$ x_v = -\frac{b}{2a} \quad y_v = -\frac{\Delta}{4a} $$

Una buona notizia: in analisi queste formule possono essere tranquillamente dimenticate!! Basta infatti il calcolo della derivata di una funzione qualsiasi, non solo di una parabola, per risolvere il problema.

Prendiamo ad esempio la parabola: $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$; la derivata è: $y' = x - 2$; nel vertice ovviamente la tangente deve avere pendenza nulla, quindi basta uguagliare a zero la derivata per trovare la $x$ del vertice:

$$ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 $$ Ricordando poi il significato geometrico della derivata seconda, è facile stabilire se si tratta di vertice minimo o massimo. Infatti è $ y' = x - 2 \quad ; \quad y'' = 1 > 0$ e quindi la concavità è rivolta verso l'alto e si tratta di un minimo.

In effetti la formuletta per la $x$ del vertice si può ricavare banalmente derivando l'equazione generale della parabola $$y = ax^2+bx+c \\ y' = 2ax + b \\2ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a} $$

La derivata seconda è $y'' = 2a$ e quindi il doppio di $a$ che come si ricorderà misurava l'apertura e la concavità della parabola.

Questo metodo può estendersi a qualsiasi funzione, e permette di trovarne gli eventuali vertici, ammesso che sia possibile risolvere l'equazione $f'(x) = 0$ cosa non sempre semplice come nel caso della parabola.

In generale si chiamano punti stazionari i punti nei quali la derivata vale zero, secondo una regola, che è di fatto una definizione, detta regola di Fermat.

I punti stazionari possono dividersi in tre categorie:

Punti di massimo locale se sia a destra, sia a sinistra del punto la funzione assume valore minore che nel massimo.
Punti di minimo locale se sia a destra, sia a sinistra del punto la funzione assume valore maggiore che nel minimo.
Punti di flesso ascendente a tangente orizzontale se a destra la funzione assume valore minore, a sinistra maggiore che nel flesso.
Punti di flesso discendente a tangente orizzontale se a destra la funzione assume valore maggore, a sinistra minore che nel flesso.

La ricerca dei punti stazionari si può allora dividere in tre fasi:

Calcolare la derivata f'(x).
Risolvere l'equazione f'(x) = 0.
Discutere le soluzioni di questa equazione per decidere se si tratta di massimo, minimo o flesso a tangente orizzontale.

Per far questo esistono due metodi classici:

I metodo per la ricerca di massimi e minimi: distingue massimi, minimi e flessi risolvendo la disequazioni f'(x) > 0.
II metodo per la ricerca di massimi e minimi: distingue massimi, minimi e flessi discutendo il segno della derivata seconda f"(x) ed eventualmente delle derivate successive.

N.B. I punti di massimo e minimo sono ovviamente da intendere come punti di massimo e minimo locale (o relativo). Può benissimo capitare che un punto di massimo locale abbia ordinata (y) inferiore a quella di altri punti lontani della funzione o addirittura che un punto di massimo locale abbia ordinata inferiore a quella di un minimo locale. Vedi per esempio lo studio di una iperbole con massimo e minimo.