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Grafico della cubica in grande Il punto di minimo Il punto di flesso

Studiare la funzione

$$ y = \frac{2x+3}{x^2} $$

Si tratta di una curva algebrica di 3º grado (cubica), infatti mettendola in forma implicita si ha

$ x^2{y} = 2x + 3 \quad ovvero \quad x^2{y} - 2x - 3 = 0 $

che è appunto di 3º grado.

Vediamo i singoli passi dello studio

1. Dominio (insieme di definizione) è chiaramente $\mathbb{R} - \{0\}$ dovendo essere il denominatore $x \ne 0$.
2. Ricerca degli zeri della funzione, ovvero soluzione dell'equazione $f(x) = 0$. La frazione è uguale a $0$ se e solo se lo è il numeratore, dunque l'equazione si riduce a:

   $ 2x + 3 = 0 → 2x = -3 x = - \frac{3}{2} = -1,5 $

   Vi è dunque un solo zero per $x = -1.5$.

3. Ricerca di eventuali asintoti verticali: calcoliamo i valori della funzione subito a destra e sinistra di $x=0$, e cioé per $x=+\epsilon$ e $x=-\epsilon$:

   $ \frac{2\epsilon+3}{\epsilon^2} = 2\omega + 3\omega^2 = +\infty$(*)

   $ \frac{2(-\epsilon)+3}{\epsilon^2} = -2\omega + 3\omega^2 = +\infty$(*)

   c'è quindi un asintoto verticale doppio x = 0 coincidente con l'asse delle y.

4. Ricerca di eventuali asintoti orizzontali. Il polinomio al numeratore ha grado inferiore a quello del denominatore, dunque la frazione è propria e il quoziente della divisione è 0; dunque c'e un asintoto orizzontale y = 0 (l'asse delle x).

   $ \frac{2\omega+3}{\omega^2} = 2\epsilon + 3\epsilon^2 \simeq 0$(*)

   $ \frac{2(-\omega)+3}{\omega^2} = -2\epsilon + 3\epsilon^2 \simeq 0$(*)

   La differenza di segno tra il primo e il secondo risultato ci dice per $x$ verso l'infinito positivo la curva resta sopra l'asintoto, mentre verso l'infinito negativo la curva si mantiene sotto l'asintoto.

5. Studio del segno della funzione, ovvero soluzione della disequazione f(x) > 0. Qui occorre considerare anche il segno del denominatore, che è peraltro sempre positivo salvo che per x= 0 (dove c'è l'asintoto verticale).

   Risolviamo la disequazione 2x + 3 > 0 in modo del tutto analogo alla soluzione dell'equazione

   $ 2x + 3 > 0 → 2x > -3 x > - \frac{3}{2} = -1,5 $

   Riassumendo con il solito schema

   $ \begin{matrix} \\ & &-1,5& &0& \\2x + 3 > 0 &---------&o&++++++&+&+++++++++ \\x^2 > 0 &+++++++++&+&++++++&o&+++++++++ \\ & - & & + & & + \end{matrix} $

   La funzione è negativa per $x \lt -1.5$ e positiva altrove.

6. Derivata e ricerca dei punti stazionari. Calcoliamo la derivata della funzione con la regola della derivata del quoziente.

   Per derivarla basta allora applicare la regola della derivata del prodotto

   $ y' = \frac{2(x^2) - (2x+3)2x}{(x^2)^2} = \frac{2x^2 - 4x^2 - 6x}{x^4} = \frac{-2x^2 - 6x}{x^4} = \frac{-2x - 6}{x^3} $

   che si annulla quando si annulla il numeratore $ -2x - 6 = 0 $ e cioè per $x = -3$; conviene allora studiare il segno della derivata

   $ \begin{matrix} \\ & &-3& &0& \\-2x -6 > 0 &++++++++++&o&------&-&---------- \\x^3 > 0 &----------&-&------&o&++++++++++ \\ & ↘ & & ↗ & & ↘ \end{matrix}$

   Dunque per x = -3 c'è un minimo; la y, sostituendo nell'equazione di partenza vale $-\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$; in definitiva si ha il punto di minimo: $ min \left( -3; -\frac{1}{3} \right) $

   Per $x= 0$ c'è apparentemente un massimo, ma ricordiamo che $x = 0$ è l'equazione dell'asintoto verticale; in un certo senso si potrebbe dire che vi è un massimo all'infinito.

7. Derivata seconda e ricerca di eventuali flessi. Calcoliamo la derivata seconda della funzione, di nuovo con la regola della derivata del quoziente.

   Per derivarla basta allora applicare la regola della derivata del prodotto

   $ y'' = D_x \frac{-2x - 6}{x^3} = \frac{-2(x^3) - 3x^2(-2x - 6)}{x^6} = \frac{-2x^3 +6x^3 +18x^2}{x^6} = \frac{4x^3 + 18x^2}{x^6} = \frac{4x + 18}{x^4} $

   Il denominatore è sempre positivo (salvo $x=0$ comunque escluso dal dominio) quindi basta uguagliare a zero il numeratore $4x+18 = 0$ che dà immediatamente la soluzione $x = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$

   Si ha quindi un punto di flesso $flex \left(-\frac{9}{2}; -\frac{8}{27} \right) = flex(-4.5; -0.(296)) $

Riassumendo tutti questi risultati si ottiene il grafico riportato sopra; si può scaricare il file Geogebra per maggiori dettagli.

1. Le derivate prima e seconda si potevano calcolare in modo più veloce? Come?
2. Studiare la funzione $f(x) = \frac{x-2}{(x+1)^2}$
3. Studiare la funzione $f(x) = \frac{2x-1}{(2-x)^2}$