- Insieme di definizione L'argomento della radice quadrata deve essere positivo o nullo, in altre parole deve essere
x2 − 4 ≥ 0
Risolvendo la disequazione, si ha (x − 2)(x + 2) ≥ 0 e quindi:
-2 +2
x - 2 ---------------------o+++++++++++++++
x + 2 -----------o+++++++++++++++++++++++++
+ − +
Dunque la funzione è definita per x ≤ −2 e x ≥ +2.
Il dominio è {x |x ≤ −2 ∧ x ≥ +2}
- Ricerca di eventuali asintoti verticali per x = ±2 la funzione vale zero e quindi non ci sono asintoti verticali.
- Ricerca di eventuali asintoti obliqui. Non è possibile usare la divisione dei polinomi, occorre quindi calcolare i due limiti:
√(x2 − 4)
m = lim ----------
x→∞ x
q = lim √(x2 − 4) - mx
x→∞
Il primo limite ha segno diverso a seconda che sia x →+∞ o →-∞. Infatti il radicale è comunque positivo e il denominatore cambia di segno.
√(x2 − 4) x.√(1 − 4/x2)
m = lim ---------- = lim -------------- = st(√(1 - 4dx2)) = 1
x→+∞ x x→+∞ x
√(x2 − 4) −x.√(1 − 4/x2)
m = lim ---------- = lim --------------- = st(−1.√(1 − 4dx2) = −1
x→−∞ x x→−∞ x
Ci sono quindi due asintoti obliqui, uno con coefficiente angolare +1, l'altro con -1. Calcoliamo allora il termine noto del primo asintoto, cosa che richiede l'artificio di moltiplicare sopra e sotto per la stessa somma (√(1 − 4.dx) + 1)
1 1 √(1 − 4.dx2) - 1
q = lim √(x2 - 4) - x = st (√(---- − 4) − --- = st(------------------) =
x→∞ dx2 dx dx
(√(1 − 4.dx2) − 1)(√(1 − 4.dx2) + 1) 1 − 4.dx2 − 1 −4.dx2 −4.dx 0
st(-------------------------------------) = st(----------------------) = st(----------------------) = st(-----------------) = --- = 0
dx.(√(1 − 4.dx2) + 1) dx.(√(1 − 4.dx2) + 1) dx.(√(1 − 4.dx2) + 1) √(1 − 4.dx2) + 1 2
Il risultato è 0 anche per il limite per x→-∞ dunque abbiamo due asintoti:
y = x
y = -x
che sono poi le bisettrici del I e del II quadrante.
-
Zeri della funzione: si tratta di risolvere l'equazione x2 − 4 = 0 già risolta per l'insieme di definizione. Gli zeri sono x = −2 e x = +2
- Studio del segno della funzione: il radicale è sempre positivo salvo per x = ± 2 dove si annulla.
- Ricerca di massimi, minimi e flessi: calcoliamo la derivata della funzione secondo la regola della funzione composta:
y = √(t)
t = x2 − 4
dy/dt = 1/2√(t)
dt/dx = 2x
La derivata è quindi:
1 x
y' = 2x ------------ = ----------
2√(x2 − 4) √(x2 − 4)
La derivata, essendo il denominatore sempre positivo, ha il segno di x, positiva nel I quadrante, negativa nel II quadrante. La funzione è quindi crescente nel I quadrante, decrescente nel II.
La derivata si annullerebbe per x = 0 ma essendo 0 al di fuori dell'insieme di definizione, si tratta di un risultato senza significato.
Infine si noti che per x = ±2 la derivata vale 2/0, in altre parole tende a infinito per x →±2. Geometricamente questo significa che per x = ± 2 la funzione ha tangente verticale.
In definitiva si ottiene il grafico sopra riportato.
- Osservazione N.1
Elevando al quadrato la funzione si ottiene:
y2 = x2 − 4
o anche
x2 − y2 = 4
che è l'equazione di un'iperbole equilatera con asintoti y = ±x. La funzione studiata consiste quindi della metà positiva (al di sopra dell'asse delle x) di questa iperbole (vedi grafico).
- Osservazione N.2
Sostituendo nella funzione x con 2.cosh(t) si ha:
y = √(4.cosh2(t) − 4) = √(4(cosh2(t) − 1))
e per l'identità iperbolica fondamentale:
y = 2.√(sinh2(t)) = 2.sinh(t)
Se ne ricavano le cosiddette equazioni parametriche dell'iperbole, del tutto analoghe a quelle della circonferenza.
x = 2.cosh(t)
y = 2.sinh(t)
