y = sin(x) + sin(2x)

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Grafico della funzione La funzione come somma

Vediamo i singoli passi dello studio

1. Insieme di definizione: il seno è definito per ogni valore di x, dunque I = R.
2. Periodo della funzione: la funzione seno ha periodo 2π, la seconda armonica sin(2x) ha periodo π. Il minimo comune multiplo è 2π e questo è il periodo della funzione. Basterà quindi studiare la funzione in un intervallo di ampiezza 2π, p.es. ]-π,+π].
3. Simmetrie: cambiando x in -x la funzione cambia di segno, si tratta quindi di una funzione dispari, con simmetria centrale rispetto all'origine.
4. Ricerca di eventuali asintoti: il seno è una funzione limitata tra -1 e +1, anche la somma di due funzioni sinusoidali sarà limitata; dunque non esistono asintoti.
5. Ricerca degli zeri della funzione, ovvero soluzione dell'equazione sin(x) + sin(2x) = 0. Ricordando la formula di duplicazione del seno si ha

   sin(x) + 2.sin(x).cos(x) = 0
   sin(x).(1 + 2.cos(x) =0
   

   e quindi, per la legge di annullamento del prodotto, l'equazione si spezza in due casi:

    I   sin(x) = 0          ==>    x = 0 +2kπ
                                               1                2π
   II   1 + 2.cos(x) =0     ==>    cos(x) = - ---   ==>  x = ± ---- + 2kπ
                                               2                 3
   

   Limitando lo studio all'intervallo ]-π, + π] si hanno i seguenti zeri:

   x = -2π/3	x = -2.094
   x = 0	x = 0
   x = +2π/3	x = +2.094
   x = π	x = +3.142

6. Calcolo delle derivate. La derivata di sin(x) è cos(x). La funzione sin(2x) è una funzione composta, e la sua derivata vale il prodotto delle due derivate: 2.cos(2x). La derivata della funzione in studio è allora

           f'(x) = cos(x) + 2.cos(2x)
   

   Procedendo in modo analogo e ricordando la regola della derivata del coseno si calcola anche la derivata seconda:

           f"(x) = -sin(x) -4.sin(2x)
   

7. Ricerca dei massimi, dei minimi e dei flessi. Conviene usare il II metodo. L'equazione f'(x) = 0 diventa

      cos(x) + 2.cos(2x) = 0
   

   Conviene anche qui ricordare la formula di duplicazione del coseno che è cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) o in funzione del solo coseno cos(2x) = 2.cos²(x) - 1 e quindi l'equazione diventa:

      cos(x) + 2.(2.cos²(x) - 1) = 0   ==>  cos(x) + 4.cos²(x) - 2 = 0 
   

   e riordinando i termini:

      4.cos²(x) + cos(x) - 2 = 0
   

   si tratta quindi di un'equazione di secondo grado nel coseno; risolvendo rispetto a cos(x) si ha:

                -1 ±√33    / -0.84307...
      cos(x) = --------- =
                   8       \ +0,59307...
   

   Si tratta ora di risolvere le due equazioni goniometriche elementari (in radianti) naturalmente con l'ausilio della calcolatrice tascabile:

      cos(x) = -0.84307... ==> x = arccos(-0.84307) = ±2,57376...
      cos(x) =  0,59307... ==> x = arccos(0,59307) = ±0,9359...
   

   I punti stazionari della curva sono quindi quattro

      x = -2,57376...   x = -0,9359...
      x = +0,9359...    x = +2,57376...  
   

   Per decidere se si tratta di massimi, minimi o flessi va calcolata la derivata seconda per ognuno:

      f"(-2,57376) = -sin(-2,57376) - 4.sin(-2.2,57376) = -3.08 < 0 ==> c'è un massimo 
      f"(-0,9359)  = -sin(-0,9359) - 4.sin(-2.0,9359) = 4.63 > 0    ==> c'è un minimo
      f"(+0,9359)  = -f"(-0,9359) = -4.63 < 0                       ==> c'è un massimo
      f"(+2,57376) = -f"(-2,57376) = +3.08 > 0                      ==> c'è un minimo
   

   Le ordinate dei quattro punti si ottengono calcolando la funzione di partenza sin(x)+sin(2x) per ognuno dei quattro punti e in definitiva si trova (i valori di x e y sono approssimati alla 4a cifra decimale):

      Max(-2,5738, +0,3690)
      Min(-0,9359, -1,7602)
      Max(+0,9359, +1,7602)
      Min(+2,5738, -0,3690)